Question

如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF．
解答下列問題：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖乙，線段CF，BD之間的位置關系為

 

，數量關系為

 

．
②當點D在線段BC的延長線時，如圖丙，①中的結論是否仍然成立，為什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，點D在線段BC上運動．
試探究：當△ABC滿足一個什么條件時，CF⊥BC（點C，F重合除外）畫出相應圖形，并說明理由．（畫圖不寫作法）
（3）若AC=4

2

，BC=3，在（2）的條件下，設正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點P，求線段CP長的最大值．

Answer 1

分析：（1）可通過證明三角形ABC和三角形ACF全等來實現．因為AD=AF，AB=AC，只要證明∠BAD=∠CAF即可，∠BAD=90°-∠DAC=∠FAC，這樣就構成了全等三角形判定中的SAS，△ABD≌△ACF，因此BC=CF，∠B=∠ACF，因為∠B+∠ACB=90°，那么∠ACF+ACD=90°，即FC⊥BC，也就是FC⊥BD．
（2）可通過構建三角形來求解．過點A作AG⊥AC交BC于點G，如果CF⊥BD，那么∠ACF=∠AGD=90°-∠ACD，又因為∠GAD=∠CAE=90°-∠CAD．AG=AC那么根據AAS可得出△AGD≌△ACF，AG=AC，又因為∠GAC=90°，可得出∠BCA=45°．
因此△BAC滿足∠BCA=45°時，CF⊥BD．
（3）過點A作AQ⊥BC交BC的延長線于點Q，通過構建與線段相關的三角形相似來求解．
圖中我們可以看出∠ADQ+∠PDC=90°，那么很容易就能得出，∠QAD=∠PDC，那么就能得出直角三角形ADQ∽直角三角形PDC，那么可得出關于CP、CD、AQ、QD的比例關系，因為∠BCA=45°，∠Q=90°，那么AQ=QC=2，如果設CD=x，那么可用x表示出CD、QD，又知道AQ的值和CP、CD、QD、AQ的比例關系，那么可得出關于CP和x的函數關系式，然后根據函數的性質和x的取值范圍求出CP的最大值．

解答：解：（1）①CF與BD位置關系是垂直，數量關系是相等
②當點D在BC的延長線上時①的結論仍成立
由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度
∵∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC，
∴∠DAB=∠FAC
又∵AB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD
∠ACF=∠ABD
∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．

（2）當∠BCA=45°時，CF⊥BD（如圖）
理由是：過點A作AG⊥AC交BC于點G，∴AC=AG
可證：△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45°
∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
即CF⊥BD．

（3）當具備∠BCA=45°時，
過點A作AQ⊥BC交CB的延長線于點Q，（如圖），
∵DE與CF交于點P時，此時點D位于線段CQ上，
∵∠BCA=45°，AC=4

2

，
∴由勾股定理可求得AQ=CQ=4．
設CD=x，∴DQ=4-x，
∵∠ADB+∠ADE+∠PDC=180°
且∠ADE=90°，
∴∠ADQ+∠PDC=90°，
又∵在直角△PCD中，∠PDC+∠DPC=90°
∴∠ADQ=∠DPC，
∵∠AQD=∠DCP=90°
∴△AQD∽△DCP，
∴

CP

DQ

=

CD

AQ

，∴

CP

4-x

=

x

4

．
∴CP=-

1

4

x²+x=-

1

4

（x-2）²+1．
∴當x=2時，CP有最大值1．

點評：本題中綜合考查了正方形的性質，全等三角形的判定以及函數關系式等綜合知識．本題的關鍵是根據題意通過作輔助線來構建出和已知，所求等條件相關的三角形，然后通過相似，全等等知識來求解．