Question

【題目】角平分線上的點到角兩邊的距離相等．這一性質(zhì)在解決圖形面積問題時有何妙用呢？閱讀材料：已知，如圖（1），在面積為S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，三條角平分線的交點O到三邊的距離為r．連接OA、OB、OC，△ABC被劃分為三個小三角形．
∵S=S△OBC+S△OAC+S△OAB= BCr+ ACr+ ABr= （a+b+c）r，∴r=

（1）類比推理：若面積為S的四邊形ABCD的四條角平分線交于O點，如圖（2），各邊長分別為AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求點O到四邊的距離r；
（2）理解應用：如圖（3），在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=BC=13，對角線BD=20，點O1與O2分別為△ABD與△BCD的三條角平分線的交點，設它們到各自三角形三邊的距離為r1和r2 ， 求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，連接OA、OB、OC、OD，

∵S=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD= ar+ br+ cr+ dr= （a+b+c）r，

∴r=

（2）解：∵AB∥CD，

∴S△ABD：S△BCD=AB：CD=21：11；

∵r1= = ，

r2= = ，

∴ = ： = × = =

【解析】（1）已知已給出示例，我們仿照例子，連接OA，OB，OC，OD，則四邊形被分為四個小三角形，且每個三角形都以內(nèi)切圓半徑為高，以四邊形各邊作底，這與題目情形類似．仿照證明過程，r易得；（2）（1）中已告訴我們內(nèi)切圓半徑的求法，如是我們再相比即得結(jié)果．但求內(nèi)切圓半徑需首先知道三角形各邊邊長，根據(jù)等腰梯形性質(zhì)，過點D作AB垂線，進一步易得BD的長，則r1、r2、 易得．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平行線的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，以及對角平分線的性質(zhì)定理的理解，了解定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上．