Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知兩點A(-4,0)、B(1,0)，且以AB為直徑的圓交軸的正半軸于點C(0，2)，過點C作圓的切線交x軸于點D．

（1）求過A, B,C三點的拋物線解析式；

（2）求點D的坐標；

（3）設平行于x軸的直線交拋物線于E,F兩點，問是否存在以線段EF為直徑的圓，恰好與x軸相切？若存在，求出該圓的半徑，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）;(2)D的坐標為（，0）;（3）存在, 或．

【解析】（1）已知了拋物線過A，B，C三點，可根據三點的坐標用待定系數法求出拋物線的解析式．
（2）由于CD是圓的切線，設圓心為O′，可連接O′C，在直角三角形O′CD中科根據射影定理求出OD的長，即可得出D的坐標．
（3）可假設存在這樣的點E、F，設以線段EF為直徑的圓的半徑為|r|，那么可用半徑|r|表示出E，F兩點的坐標，然后根據E，F在拋物線上，將E，F的坐標代入拋物線的解析式中，可得出關于|r|的方程，如果方程無解則說明不存在這樣的E，F點，如果方程有解，可用得出的r的值求出E，F兩點的坐標．

解：（1）設二次函數的解析式為，則

， ，

故拋物線的解析式為 ．

過圓心O′做拋物線的對稱軸，連接O′C.

（2）如圖所示，

以為直徑的圓圓心坐標為O′（，0）．

， ．

∵CD為⊙O′切線
∴O′C⊥CD，

∵ ∠O′OC=∠COD=90°

∴ ∠CDO+∠DCO=∠CDO+∠CO′O=90°

∴ ∠DCO=∠CO′O

∴ ⊿O′CO∽⊿CDO, ,

∴,

．

∴ D的坐標為（，0）．

（3）存在．拋物線對稱軸為．設圓的半徑為r(r>0)，令點在點F的左邊．

①當E,F在軸上方時，則E坐標為（-r,r）,F坐標為（+r,r）將點E坐標代入拋物線

中，得r= (-r)2- (--r)+2，

， （舍去）．

②當E，F在x軸下方時，則E坐標為（--r,-r）,F坐標為(-+r,-r)，將E點的坐標代入 ．得-r=-(--r)2- (--r)+2，得r3=1+或r4=1- (舍去) ．

故在以為直徑的圓，恰好與軸相切，該圓的半徑為或．

“點睛”本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、三角形相似、切線的性質等重要知識點，綜合性強，考查學生數形結合的數學思想方法．