Question

如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是AD．BC的中點，P、Q分別是BM、DN的中點．
（1）求證：△MBA≌△NDC；
（2）四邊形MPNQ是什么樣的特殊四邊形？請說明理由．

Answer 1

（1）證明見解析（2）菱形，理由見解析

證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∵AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，
∵在矩形ABCD中，M、N分別是AD．BC的中點，
∴AM=AD，CN=BC，
∴AM=CN，
在△MAB≌△NDC，
∵，
∴△MAB≌△NDC；
（2）四邊形MPNQ是菱形，
理由如下：連接AN，
易證：△ABN≌△BAM，
∴AN=BM，
∵△MAB≌△NDC，
∴BM=DN，
∵P、Q分別是BM、DN的中點，
∴PM=NQ，
∵DM=BN，DQ=BP，∠MDQ=∠NBP，
∴△MQD≌△NPB．
∴四邊形MPNQ是平行四邊形，
∵M是AB中點，Q是DN中點，
∴MQ=AN，
∴MQ=BM，
∴MP=BM，
∴MP=MQ，
∴四邊形MQNP是菱形．

（1）根據矩形的性質和中點的定義，利用SAS判定△MBA≌△NDC；
（2）四邊形MPNQ是菱形，連接AN，有（1）可得到BM=CN，再有中點得到PM=NQ，再通過證明△MQD≌△NPB得到MQ=PN，從而證明四邊形MPNQ是平行四邊形，利用三角形中位線的性質可得：MP=MQ，進而證明四邊形MQNP是菱形．