Question

【題目】在平面直角坐標系中，一次函數yx+4的圖象與x軸和y軸分別交于A、B兩點．動點P從點A出發，在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O作勻速運動，到達點O即停止運動．其中A、Q兩點關于點P對稱，以線段PQ為邊向上作正方形PQMN．設運動時間為秒．如圖①．

（1）當t=2秒時，OQ的長度為　　　　 ；

（2）設MN、PN分別與直線yx+4交于點C、D，求證：MC=NC；

（3）在運動過程中，設正方形PQMN的對角線交于點E，MP與QD交于點F，如圖2，求OF+EN的最小值．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

（1）解方程得到OA=6，由t=2，于是得到結論；
（2）根據AP=PQ=t，得到OQ=6-2t，根據正方形的性質得到PQ=QM=MN=PN=t，求得M（6-2t，t），N（6-t，t），C（6-t，t），求得CM=（6-t）-（6-2t）=t，CN=（6-t）-（6-t）=t，于是得到結論；
（3）作矩形NEFK，則EN=FK，推出當O，F，K三點共線時，OF+EN=OF+FK的值最小，如圖，作OH⊥QN于H，解直角三角形即可得到結論．

（1）在yx+4中，令y=0，得x=6，∴OA=6．

∵t=2，∴AP=PQ=2，

∴OQ=6﹣2﹣2=2．

故答案為：2；

（2）∵AP=PQ=t，∴OQ=6﹣2t．

∵四邊形PQMN是正方形，

∴PQ=QM=MN=PN=t，

∴M（6﹣2t，t），N（6﹣t，t），C（6t，t），

∴CM=（6t）﹣（6﹣2t）t，

CN=（6﹣t）﹣（6t）t，

∴CM=CN；

（3）作矩形NEFK，則EN=FK．

∵OF+EN=OF+FK，

∴當O，F，K三點共線時，OF+EN=OF+FK的值最小，如圖，

作OH⊥QN于H，

在等腰直角三角形PQN中，∵PQ=t，∴QNt，

∴HN=QN﹣QHt﹣（t﹣3）=3，

∴OF+EN的最小值為：HE+EN=HN=3．