Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底邊QR=6cm，點B、C、Q、R在同一直線l上，且C、Q兩點重合，如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直線l箭頭所示方向勻速運動，t秒時梯形ABCD與等腰△PQR重合部分的面積記為S平方厘米．
（1）當t=4時，求S的值；
（2）當4≤t≤10，求S與t的函數關系式，并求出S的最大值．

Answer 1

（1）當t=4時，CQ=4cm，
過點A作AE⊥BC于E，過點D作DF⊥BC于F，
∵AE=DF=

3

cm，∠AEB=∠DFC=90°，AB=CD，
∴△ABE≌△DFC，
∴BE=CF，
∵EF=AD=2cm，BC=4cm，
∴BE=CF=1cm，
∴點D與點P重合，
∴S_△BDC=

1

2

BC•DF=

1

2

×4×

3

=2

3

（cm²）；
（2）當4≤t＜6時，P在線段AD上，作KH⊥QH，過點M作MN⊥BC于N，
∵∠Q=30°，∠1=60°，
∴∠2=∠1-∠Q=30°，
∠3=∠2=30°，
∴QB=BM=QC-BC=t-4，
∵∠R=∠Q=30°，∠DCB=∠ABC=60°，
∴∠CKR=∠DCB-∠R=30°=∠R，
∴KC=CR=6-t，
∴HK=KC•sin60°=

3

2

（6-t）
∴同理：MN=

3

2

（t-4），
∴S=S_△PQR-S_△BQM-S_△CRK=

1

2

QR•PG-

1

2

BQ•MN-

1

2

CR•KH
=

1

2

×6×

3

-

1

2

×

3

2

（t-4）²-

1

2

×

3

2

（6-t）²=-

3

2

t²+5

3

t-10

3

，
∵a=-

3

2

＜0，開口向下，
∴S有最大值，
當t=-

5 3

2×(- 3 2 )

=5時，S最大值為

5 3

2

；
當6≤t≤10時，P在線段DA的延長線上，
∵∠1=60°，∠2=30°，
∴∠3=90°
∴RC=t-6，BR=4-RC=4-（t-6）=10-t，
∴TB=

1

2

BR=

10-t

2

，TR=

3

2

BR=

3

2

（10-t），
∴S=

1

2

TB•TR=

1

2

×

10-t

2

×

3

2

（10-t）=

3

8

t²-

5 3

2

t+

25 3

2

，
當a＞0時，開口向上，-

b

2a

=10，
∴t=6時，S最大值為2

3

；
綜上，t=5時，S最大值為

5 3

2

．