Question

（2001•黃岡）已知一個二次函數的圖象經過A（4，-3），B（2，1）和C（-1，-8）三點．
（1）求這個二次函數的解析式以及它的圖象與x軸的交點M，N（M在N的左邊）的坐標．
（2）若以線段MN為直徑作⊙G，過坐標原點O作⊙G的切線OD，切點為D，求OD的長．
（3）求直線OD的解析式．
（4）在直線OD上是否存在點P，使得△MNP是直角三角形？如果存在，求出點P的坐標（只需寫出結果，不必寫出解答過程）；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知函數圖象上三個不同點的坐標，利用待定系數法即可求得拋物線的解析式；再令函數值為0，就能求出點M、N的坐標（注意它們的位置）．
（2）在（1）題中，已經求得了M、N的坐標，則線段OM、ON的長可知，直接利用切割線定理即可求出OD的長．
（3）利用待定系數法求直線OD的解析式，必須先求出點D的坐標；連接圓心和切點，過點D作x軸的垂線OE（垂足為E），首先由半徑長和OD的長求出∠DOG的度數，然后在Rt△ODE中，通過解直角三角形求出DE、OE的長，則點D的坐標可知，由此得解（需要注意的是：點D可能在x軸上方，也可能在x軸下方，所以直線OE的解析式應該有兩個）．
（4）在（3）中，已經知道共有兩條直線OD，所以要分兩種大的情況討論，它們的解答方法是一致的，以點P在x軸上方為例進行說明：
①當點M是直角頂點時，MP所在直線與x軸垂直，即M、P的橫坐標相同，直接將點M的橫坐標代入直線OD的解析式中即可得到點P的坐標；
②當點P是直角頂點時，由圓周角定理知：（2）題的切點D正好符合點P的條件；
③當點N是直角頂點時，方法同①．

解答：解：（1）設所求的二次函數的解析式為y=ax²+bx+c，∵拋物線經過A（4，-3），B（2，1）和C（-1，-8）三點，
∴

-3=16a+4b+c 1=4a+2b+c -8=a-b+c.

解之，得

a=-1 b=4 c=-3

∴拋物線為y=-x²+4x-3，令y=0，得-x²+4x-3=0，解得x₁=1，x₂=3．
∴拋物線與x軸的交點坐標為M（1，0），N（3，0）．

（2）過原點O作⊙G的切線，切點為D．易知OM=1，ON=3．由切割線定理，得OD²=OM•ON=1×3．
∴OD=

3

，即所求的切線OD長為

3

．

（3）如右圖，連接DG，則∠ODG=90°，DG=1．∵OG=2，∴∠DOG=30°．
過D作DE⊥OG，垂足為E，則DE=OD•sin30°=

3

2

，DE=OD•cos30°=

3

2

．
∴點D的坐標為D（

3

2

，

3

2

）或（

3

2

，-

3

2

）．從而直線OD的解析式為y=±

3

3

x．

（4）Ⅰ、當點P在x軸上方時；
①點M是直角頂點，此時MP1⊥x軸，即M、P1的橫坐標相同；
當x=1時，y=

3

3

x=

3

3

；
即 P₁（1，

3

3

）；
②當點P是直角頂點時，由（2）知，P₂、D重合，即P₂（

3

2

，

3

2

）；
③當點N是直角頂點，同①可求得 P₃（3，

3

）．
Ⅱ、當點P在x軸下方時，同Ⅰ可知：P₄（1，-

3

3

），P₅（

3

2

，-

3

2

），P₆（3，-

3

）．
綜上，在直線OD上存在點P，使△MNP是直角三角形．所求P點的坐標為（1，±

3

3

），或（3，±

3

），或（

3

2

，±

3

2

）．

點評：此題是幾何與代數知識的綜合運用，在考查常規知識的同時，結合圓的對稱性等滲透了分類討論思想．解答（3）（4）問時，解題者常拘泥于習慣性思維，只考慮到在x軸上方的切線OD和以P為直角頂點的Rt△MNP這些常見情形，從而導致丟解．作為壓軸題，本題（4）問顯示出了層次性，由易到難，逐步深入，體現了命題者的匠心．