Question

如圖，已知半徑為2的⊙O與直線l相切于點A，點P是直徑AB左側半圓上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為C，PC與⊙O交于點D，連接PA、PB，設PC的長為x(2＜x＜4）
小題1:當 時，求弦PA、PB的長度；
小題2:當x為何值時，PD×CD的值最大？最大值是多少？

Answer 1

小題1:PA=,PB=
小題2:當時， PD×CD 有最大值，最大值是2.

⑴由已知知，AB∥PC，證得△PCA∽△APB.求出PA 的長，利用勾股定理求得PB的長
⑵過O作OE⊥PD，求出PD和CD的積，即可得出結論
解：⑴∵⊙O與直線l相切于點A，AB為⊙O的直徑，∴AB⊥l.
又∵PC⊥l，∴AB∥PC. ∴∠CPA=∠PAB.
∵AB為⊙O的直徑，∴∠APB=90°.
∴∠PCA=∠APB.∴△PCA∽△APB.