Question

【題目】如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，點D、E分別是邊AB、AC的中點，將△ADE繞點A旋轉，BD與CE所在的直線交于點F．

(1)如圖(2)所示，將△ADE繞點A逆時針旋轉，且旋轉角不大于60°，∠CFB的度數是多少？說明你的理由？

(2)當△ADE繞點A旋轉時，若△BCF為直角三角形，求出線段BF的長.

Answer 1

【答案】(1)∠CFB＝60°，理由見解析；(2)4或2.

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質得到AC=AB，∠EAD=∠CAB=60°，由點D、E分別是邊AB、AC的中點，得到AE=AD，根據旋轉的性質得到∠EAC=∠BAD，根據全等三角形的性質得到∠ACE=∠ABD，由對頂角相等得∠COF=∠AOB，根據三角形的內角和即可得到結論；
（2）根據含30°角的直角三角形的性質，利用勾股定理解直角三角形，分兩種情況求解即可得到結論．

解：(1)∠CFB＝60°，

理由：∵△ABC是等邊三角形，

∴AC＝AB，∠CAB＝60°，

∵點D、E分別是邊AB、AC的中點，

∴

∴AE＝AD，

∵將△ADE繞點A旋轉，BD與CE所在的直線交于點F，

∴∠EAC＝∠BAD，

在△ACE與△ABD中，

，

∴△ACE≌△ABD，

∴∠ACE＝∠ABD，設AC交BF于O，

∵∠COF＝∠AOB，

∴∠CFB＝∠CAB＝60°；

（2）∠CFB=60°，∠BCF=90°時，∠CBF=30°，

∴CF =BF，
∴，

解得：BF=4；

∠CFB=60°，∠CBF=90°時，∠BCF=30°，

∴CF =2BF，

∴
解得：BF = 2 .

故答案為：（1）∠CFB＝60°，理由見解析；（2）4或2．