Question

【題目】已知四邊形ABCD中，E，F分別是AB，AD邊上的點，DE與CF交于點G.

(1)如圖①，若四邊形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求證： ；

(2)如圖②，若四邊形ABCD是平行四邊形，試探究：當∠B與∠EGC滿足什么關系時，使得成立？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）當∠B＋∠EGC＝180°時，成立，理由詳見解析.

【解析】

(1)根據矩形的性質可得∠A＝∠ADC＝90°，由DE⊥CF可得∠ADE＝∠DCF，即可證得△ADE∽△DCF，從而證得結論；

(2)在AD的延長線上取點M，使CM＝CF，則∠CMF＝∠CFM．根據平行線的性質可得∠A＝∠CDM，再結合∠B+∠EGC＝180°，可得∠AED＝∠FCB，進而得出∠CMF＝∠AED即可證得△ADE∽△DCM，從而證得結論；

解：(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，

∵DE⊥CF，∴∠ADE＝∠DCF，

∴△ADE∽△DCF，

∴ 　

(2)當∠B＋∠EGC＝180°時，成立，證明如下：

在AD的延長線上取點M，使CM＝CF，

則∠CMF＝∠CFM.

∵AB∥CD.∴∠A＝∠CDM.

∵AD∥BC，∴∠CFM＝∠FCB.

∵∠B＋∠EGC＝180°，∴∠AED＝∠FCB，

∴∠CMF＝∠AED，∴△ADE∽△DCM，∴，即.