Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，C是AB延長線上的點，AC的垂直平分線交半圓于點D，交AC于點E，連接DA，DC．已知半圓O的半徑為3，BC=2．

（1）求AD的長．

（2）點P是線段AC上一動點，連接DP，作∠DPF=∠DAC，PF交線段CD于點F．當△DPF為等腰三角形時，求AP的長．

Answer 1

【答案】（1）AD=2；（2）當△DPF是等腰三角形時，AP的長為0或5或8﹣2．

【解析】

（1）先求出AC，進而求出AE=4，再用勾股定理求出DE即可得出結論；

（2）分三種情況，利用相似三角形得出比例式，即可得出結論

（1）如圖1，連接OD，

∵OA=OD=3，BC=2，

∴AC=8，

∵DE是AC的垂直平分線，

∴AE=AC=4，

∴OE=AE﹣OA=1，

在Rt△ODE中，DE= =2 ；

在Rt△ADE中，AD==2；

（2）當DP=DF時，如圖2，

點P與A重合，F與C重合，則AP=0；

當DP=PF時，如圖4，

∴∠CDP=∠PFD，

∵DE是AC的垂直平分線，∠DPF=∠DAC，

∴∠DPF=∠C，

∵∠PDF=∠CDP，

∴△PDF∽△CDP，

∴∠DFP=∠DPC，

∴∠CDP=∠CPD，

∴CP=CD，

∴AP=AC﹣CP=AC﹣CD=AC﹣AD=8﹣2；

當PF=DF時，如圖3，

∴∠FDP=∠FPD，

∵∠DPF=∠DAC=∠C，

∴△DAC∽△PDC，

∴ ，

∴，

∴AP=5，

即：當△DPF是等腰三角形時，AP的長為0或5或8﹣2．