Question

【題目】如圖，直線y=x﹣2分別交x軸、y軸于A、B兩點，P為AB的中點，PC⊥x軸于點C，延長PC交反比例函數y=（x＜0）的圖象于點D，且OD∥AB．

（1）求k的值；

（2）連接OP、AD，求證：四邊形APOD是菱形．

Answer 1

【答案】（1）-3；（2）證明見解析.

【解析】分析：（1）在直角三角形AOB中，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到AP=OP=PB，再由PC與x軸垂直，利用三線合一得到C為OA中點，根據OD與AB平行，得到一對內錯角相等，利用ASA得到三角形DCO與三角形ACP全等，利用全等三角形對應邊相等得到DC=PC，求出A與B坐標，進而確定出D坐標，代入反比例解析式求出k的值即可；
（2）由（1）的全等得到OD=AP，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得到APOD為平行四邊形，再根據AP=OP即可得證．

詳解：（1）∵∠AOB=90°，P為AB中點，

∴AP=OP=PB，

∵PC⊥AO，

∴AC=OC，

∵DO∥AB，

∴∠DOA=∠OAB，

∴△ACP≌△OCD，

∴DC=CP，

一次函數y=﹣x﹣2中，令y=0，得到x=﹣6，令x=0，得到y=﹣2，

即B點坐標（0，﹣2），A點坐標（﹣6，0），

∴OA=6，OB=2，

∵tan∠OAB=tan∠AOD=，又OC=3，

∴DC=1，

所以點D的坐標（﹣3，1），

代入反比例解析式得k=﹣3；

（2）證明：由（1）△ACP≌△OCD，得AP=DO，又AP∥DO，

∴四邊形APOD為平行四邊形，

又AP=PO，

∴四邊形APOD為菱形．