Question

【題目】已知如圖1，拋物線y=﹣x2﹣x+3與x軸交于A和B兩點（點A在點B的左側），與y軸相交于點C，點D的坐標是（0，﹣1），連接BC、AC

（1）求出直線AD的解析式；

（2）如圖2，若在直線AC上方的拋物線上有一點F，當△ADF的面積最大時，有一線段MN=（點M在點N的左側）在直線BD上移動，首尾順次連接點A、M、N、F構成四邊形AMNF，請求出四邊形AMNF的周長最小時點N的橫坐標；

（3）如圖3，將△DBC繞點D逆時針旋轉α°（0＜α°＜180°），記旋轉中的△DBC為△DB′C′，若直線B′C′與直線AC交于點P，直線B′C′與直線DC交于點Q，當△CPQ是等腰三角形時，求CP的值．

Answer 1

【答案】（1）直線AD解析式為y=﹣x﹣1；（2）N點的橫坐標為：﹣;（3）PC的值為： 或4﹣或或．

【解析】解：（1）∵拋物線y=﹣x2﹣x+3與x軸交于A和B兩點，

∴0=﹣x2﹣x+3，

∴x=2或x=﹣4，

∴A（﹣4，0），B（2，0），

∵D（0，﹣1），

∴直線AD解析式為y=﹣x﹣1；

（2）如圖1，

過點F作FH⊥x軸，交AD于H，

設F（m，﹣m2﹣m+3），H（m，﹣m﹣1），

∴FH=﹣m2﹣m+3﹣（﹣m﹣1）=﹣m2﹣m+4，

∴S△ADF=S△AFH+S△DFH=FH×|yD﹣yA|=2FH=2（﹣m2﹣m+4）=﹣m2﹣m+8=﹣（m+）2+，

當m=﹣時，S△ADF最大，

∴F（﹣，）

如圖2，

作點A關于直線BD的對稱點A1，把A1沿平行直線BD方向平移到A2，且A1A2=，

連接A2F，交直線BD于點N，把點N沿直線BD向左平移得點M，此時四邊形AMNF的周長最小．

∵OB=2，OD=1，

∴tan∠OBD=，

∵AB=6，

∴AK=，

∴AA1=2AK=，

在Rt△ABK中，AH=，A1H=，

∴OH=OA﹣AH=，

∴A1（﹣，﹣），

過A2作A2P⊥A2H，

∴∠A1A2P=∠ABK，

∵A1A2=，

∴A2P=2，A1P=1，

∴A2（﹣，﹣）

∵F（﹣，）

∴A2F的解析式為y=﹣x﹣①，

∵B（2，0），D（0，﹣1），

∴直線BD解析式為y=﹣x﹣1②，

聯立①②得，x=﹣，

∴N點的橫坐標為：﹣．

（3）∵C（0，3），B（2，0），D（0，﹣1）

∴CD=4，BC=，OB=2，

BC邊上的高為DH，

根據等面積法得，BC×DH=CD×OB，

∴DH==，

∵A（﹣4，0），C（0，3），

∴OA=4，OC=3，

∴tan∠ACD=，

①當PC=PQ時，簡圖如圖1，

過點P作PG⊥CD，過點D作DH⊥PQ，

∵tan∠ACD=

∴設CG=3a，則QG=3a，PG=4a，PQ=PC=5a，

∴DQ=CD﹣CQ=4﹣6a

∵△PGQ∽△DHQ，

∴，

∴，

∴a=，

∴PC=5a=；

②當PC=CQ時，簡圖如圖2，

過點P作PGspan>⊥CD，

∵tan∠ACD=

∴設CG=3a，則PG=4a，

∴CQ=PC=5a，

∴QG=CQ﹣CG=2a，

∴PQ=2a，

∴DQ=CD﹣CQ=4﹣5a

∵△PGQ∽△DHQ，

同①的方法得出，PC=4﹣，

③當QC=PQ時，簡圖如圖1

過點Q作QG⊥PC，過點C作CN⊥PQ，

設CG=3a，則QG=4a，PQ=CQ=5a，

∴PG=3a，

∴PC=6a

∴DQ=CD﹣CQ=4﹣5a，

利用等面積法得，CN×PQ=PC×QG，

∴CN=a，

∵△CQN∽△DQH

同①的方法得出PC=

④當PC=CQ時，簡圖如圖4，

過點P作PG⊥CD，過H作HD⊥PQ，

設CG=3a，則PG=4a，CQ=PC=5a，

∴QD=4+5a，PQ=4，

∵△QPG∽△QDH，

同①方法得出．CP=

綜上所述，PC的值為：；4﹣，，=．