Question

【題目】如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC．設MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F．
（1）求證：OE=OF；
（2）若CE=8，CF=6，求OC的長；
（3）當點O在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明：∵MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F，
∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1=∠5，∠3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF；
（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，
∵CE=8，CF=6，
∴EF==10，
∴OC=EF=5；
（3）答：當點O在邊AC上運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形．
證明：當O為AC的中點時，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四邊形AECF是矩形．
【解析】（1）根據平行線的性質以及角平分線的性質得出∠1=∠2，∠3=∠4，進而得出答案；
（2）根據已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，進而利用勾股定理求出EF的長，即可得出CO的長；
（3）根據平行四邊形的判定以及矩形的判定得出即可．