Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點為B，OC相交于點D，且CD=2，BC=4，

（1）求⊙O的半徑；

（2）連接AD并延長，交BC于點E，取BE的中點F，連接DF，試判斷DF與⊙O的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）DF與⊙O相切；理由見解析；

【解析】

（1）設⊙O的半徑為R，由切線的性質得出∠OBC=90°，由勾股定理得出方程，解方程即可；

（2）連接BD，由等腰三角形的性質得出∠OBD=∠ODB，由圓周角定理得出∠ADB=90°，求出∠BDE=90°，由直角三角形的性質得出DF=BE=BF，得出∠DBF=∠BDF，證出∠BDF+∠ODB=90°，即可得出結論．

（1）設⊙O的半徑為R，

∵BC是⊙O的切線，

∴∠OBC=90°，

∴OB2+BC2=OC2 ，

即R2+42=（R+2）2 ，

解得：R=3，

即⊙O的半徑為3

（2）DF與⊙O相切；理由如下： 如圖所示：連接BD，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠BDE=90°，

∵F是BE的中點，

∴DF=BE=BF，

∴∠DBF=∠BDF，

∵∠DBF+∠OBD=90°，

∴∠BDF+∠ODB=90°，

∴DF⊥OD，

∴DF與⊙O相切．