Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（4，0），點B（0，3），點P從點B出發沿BA方向向點A勻速運動，速度為每秒1個單位長度，點Q從點A出發沿AO方向向點O勻速運動，速度為每秒2個單位長度，連接PQ．若設運動的時間為t秒（0＜t＜2）．
（1）求直線AB的解析式；
（2）設△AQP的面積為y，求y與t之間的函數關系式；
（3）是否存在某一時刻t，使線段PQ恰好把△AOB的周長和面積同時平分？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由；
（4）連接PO，并把△PQO沿QO翻折，得到四邊形PQP′O，那么是否存在某一時刻t，使四邊形PQP′O為菱形？若存在，請求出此時點Q的坐標和菱形的邊長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，
∴
解得，
∴直線AB的解析式是y=-x+3．

（2）在Rt△AOB中，AB==5，
依題意，得BP=t，AP=5-t，AQ=2t，
過點P作PM⊥AO于M，
∵△APM∽△ABO，
∴，
∴，
∴PM=3-t，
∴y=AQ•PM=•2t•（3-t）=-t²+3t．

（3）不存在某一時刻t，使線段PQ恰好把△AOB的周長和面積同時平分，
若PQ把△AOB周長平分，則AP+AQ=BP+BO+OQ，
∴（5-t）+2t=t+3+（4-2t），
解得t=1．
若PQ把△AOB面積平分，則S_△APQ=S_△AOB，
∴-t²+3t=3，
∵t=1代入上面方程不成立，
∴不存在某一時刻t，使線段PQ把△AOB的周長和面積同時平分．

（4）存在某一時刻t，使四邊形PQP'O為菱形，
過點P作PN⊥BO于N，
若四邊形PQP′O是菱形，則有PQ=PO，
∵PM⊥AO于M，
∴QM=OM，
∵PN⊥BO于N，可得△PBN∽△ABO，
∴，
∴，
∴PN=t，
∴QM=OM=t，
∴t+t+2t=4，
∴t=，
∴當t=時，四邊形PQP′O是菱形，
∴OQ=4-2t=，
∴點Q的坐標是（，0）．
∵PM=3-t=，OM=t=，
在Rt△PMO中，PO===，
∴菱形PQP′O的邊長為．
分析：（1）已知了A、B兩點的坐標，可用待定系數法求出直線AB的解析式．
（2）三角形APQ中，底邊AQ的長易知，關鍵是求P點縱坐標的值；過P作PM⊥OA于M，通過構建的相似三角形得出的成比例線段，可求出PM的長．進而可根據三角形的面積公式求出y，t的函數關系式．
（3）可用分析法求解．先假設存在這樣的t值，由于此時PQ將三角形ABO的周長平分，因此BP+BO+OQ=AP+AQ，據此可求出t的值，然后將t的值，代入（2）的函數關系式中，看此時三角形APQ的面積是否等于三角形AOB的面積的一半即可．
（4）如果四邊形OPQP′是菱形，那么需要滿足的條件是OP=PQ，那么PM垂直平分OQ，此時QM=OQ，可借助OA的長來求t的值．過P作PN⊥OB于N，那么三角形BNP和三角形BOA相似，可求得PN的表達式，也就求出了QM，MO的表達式，可根據OA=OM+QM+AQ來求出此時t的值．進而可求出菱形的邊長．
點評：本題考查了一次函數解析式的確定、圖形面積的求法、相似三角形的應用、菱形的判定和性質等知識．綜合性強，難度較大．