Question

已知，如圖(a)，拋物線經過點A(x₁，0)，B(x₂，0)，C(0，－2)，其頂點為D.以AB為直徑的⊙M交y軸于點E、F，過點E作⊙M的切線交x軸于點N。∠ONE=30°，。

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）連結AD、BD,在（1）中的拋物線上是否存在一點P，使得△ABP與△ADB相似？若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由；
（3）如圖（b）,點Q為上的動點（Q不與E、F重合），連結AQ交y軸于點H，問：AH·AQ是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由。

Answer 1

解：（1）圓的半徑，
連接EM，

∵NE是⊙M的切線，∴ME⊥NE。
在Rt△MNE中，∠ONE=30°，MA=ME=4，
∴∠EMN=60°，MN=8。∴OM=2。
∴OA=2，OB=6。
∴點A、B的坐標分別為（―2，0），（6，0）。
∵拋物線經過點A、B兩點，
∴設拋物線的解析式為，
又∵拋物線經過點C(0，－2)，
∴，解得。
∴拋物線的解析式為，即。
∵，∴拋物線頂點D的坐標為（2，）。
（2）如圖，由拋物線的對稱性可知：AD=BD，∠DAB=∠DBA。

若在拋物線對稱性的右側圖象上存在點P，使△ABP與△ADB相似，
必須有∠BAP=∠BPA=∠BPD。
設AP交拋物線的對稱軸于D′點，則D′（2，）。
∴直線AP的解析式為 。
由解得：
（舍去）。
∴P（10，8）。
過P作PG⊥x軸于點G，
在Rt△BGP中，BG=4，PG=8，
∴由勾股定理，得PB=。
∵PA=8，∴PA≠PB。∴∠BAP≠∠BPA。
∴△ABP與△ADB不相似。
同理可說明在對稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的P點。
∴在該拋物線上不存在點P，使得△ABP與△ADB相似。
（3）連接AF、QF，

在△AQF和△AFH中，
由垂徑定理易知：，
∴∠AQF=∠AFH。
又∠QAF=∠HAF，
∴△AQF∽△AFH。
∴，∴。
在Rt△AOF中，
，
∴AH·AQ＝16，即：AH·AQ為定值

試題分析：（1）由切線的性質和含30度角直角三角形的性質，求出點A、B的坐標，從而應用待定系數法求出拋物線的解析式，化為頂點式即可得到拋物線的頂點D的坐標。
（2）應用反證法分拋物線對稱性的右側和拋物線對稱性的左側兩種情況說明在該拋物線上不存在點P，使得△ABP與△ADB相似。
（3）由垂徑定理和相似三角形的判定和性質，可得，在Rt△AOF中，應用勾股定理可得，從而得出AH·AQ為定值的結論。