Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線與直線y=x交于點A，點B在直線上，∠BOA=90°．拋物線過點A，O，B，頂點為點E．

（1）求點A，B的坐標；
（2）求拋物線的函數表達式及頂點E的坐標；
（3）設直線y=x與拋物線的對稱軸交于點C，直線BC交拋物線于點D，過點E作FE∥x軸，交直線AB于點F，連接OD，CF，CF交x軸于點M．試判斷OD與CF是否平行，并說明理由．

Answer 1

解：（1）由直線與直線y=x交于點A，得
，解得，。
∴點A的坐標是（3，3）。
∵∠BOA=90°，∴OB⊥OA。
∴直線OB的解析式為y=﹣x。
又∵點B在直線上，∴，解得，。
∴點B的坐標是（﹣1，1）。
綜上所述，點A、B的坐標分別為（3，3），（﹣1，1）。
（2）由（1）知，點A、B的坐標分別為（3，3），（﹣1，1），
∵拋物線過點A，O，B，
∴，解得，。
∴該拋物線的解析式為。
∵，∴頂點E的坐標是（，）。
（3）OD與CF平行。理由如下：
由（2）知，拋物線的對稱軸是x=。
∵直線y=x與拋物線的對稱軸交于點C，∴C（，）。
設直線BC的表達式為，把B（﹣1，1），C（，）代入，得
，解得，。
∴直線BC的解析式為。
∵直線BC與拋物線交于點B、D，∴，解得，x₁=，x₂=﹣1．。
把x₁=代入，得y₁=，∴點D的坐標是（，）。
如圖，作DN⊥x軸于點N，

則
∵FE∥x軸，點E的坐標為（，），
∴點F的縱坐標是。
把y=代入，得x=，
∴點F的坐標是（，），
∴EF=。
∵CE=，∴。
∴∠CFE=∠DON。
又∵FE∥x軸，∴∠CMN=∠CFE。∴∠CMN=∠DON。
∴OD∥CF，即OD與CF平行。

試題分析：（1）由直線與直線y=x交于點A，列出方程組，通過解該方程組即可求得點A的坐標；根據∠BOA=90°得到直線OB的解析式為y=﹣x，則，通過解該方程組來求點B的坐標即可。
（2）把點A、B、O的坐標分別代入已知二次函數解析式，列出關于系數a、b、c的方程組，通過解方程組即可求得該拋物線的解析式。
（3）如圖，作DN⊥x軸于點N，欲證明OD與CF平行，只需證明同位角∠CMN與∠DON相等即可。