Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，⊙O是△ABC的內切圓，切點分別為D、E、F．連接DF并延長交BC的延長線于點G．

(1)求證：AF=GC；

(2)若BD=6，AD=4，求⊙O的半徑；

(3)在(2)的條件下，求圖中由弧EF與線段CF、CE圍成的陰影部分面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）2；（3）4﹣π．

【解析】

（1）連接OD、OE、OF、OA，證明四邊形OFCE為正方形，根據正方形的性質得到OF=CF，證明△GFC≌△AOF，根據全等三角形的性質證明結論；
（2）根據切線長定理得到BE=BD=6，AF=AD=4，CF=CE，根據勾股定理列出方程，解方程即可；
（3）根據正方形的面積公式和扇形面積公式計算．

（1）證明：連接OD、OE、OF、OA，

∵⊙O是△ABC的內切圓，切點分別為D、E、F，

∴OE⊥BC，OF⊥AC，又∠ACB=90°，OE=OF，

∴四邊形OFCE為正方形，

∴OF=CF，

∵AF=AD，OF=OD，

∴OA⊥DF，又∠AFD=∠GFC，

∴∠G=∠OAF，

在△GFC和△AOF中，

，

∴△GFC≌△AOF（AAS），

∴AF=GC；

（2）解：由切線長定理得，BE=BD=6，AF=AD=4，CF=CE，

則AB=AD+BD=10，

由勾股定理得，AC2+BC2=AB2，即（4+CF）2+（6+CE）2=102，

解得，CF=2，即⊙O的半徑為2；

（3）解：圖中由弧EF與線段CF、CE圍成的陰影部分面積=22﹣ =4﹣π．