Question

【題目】【問(wèn)題原型】如圖1，在四邊形ABCD中，∠ADC=90°，AB=AC.點(diǎn)E、F分別為AC、BC的中點(diǎn)，連結(jié)EF，DE．試說(shuō)明：DE=EF．

【探究】如圖2，在問(wèn)題原型的條件下，當(dāng)AC平分∠BAD，∠DEF=90°時(shí)，求∠BAD的大小．

【應(yīng)用】如圖3，在問(wèn)題原型的條件下，當(dāng)AB=2，且四邊形CDEF是菱形時(shí)，直接寫(xiě)出四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】 【問(wèn)題原型】詳見(jiàn)解析；【探究】∠BAD=60°；【應(yīng)用】

【解析】試題分析：【問(wèn)題原型】由三角形中位線定理和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可證明 ．

【探究】先證明∠EDA=∠DAE=∠CAB=∠CEF，由外角的性質(zhì)得到∠DEC=2∠DAC=2∠CEF，再由∠DEF=90°，得到∠CEF的度數(shù)，即可得到結(jié)論．

【應(yīng)用】連接AF．證明△ECF是等邊三角形，從而得到AD，AF的長(zhǎng)，由S四邊形ABCD=S△ADC+S△ABC=計(jì)算即可．

試題解析：解：【問(wèn)題原型】

證明：在△ABC中，點(diǎn)E，F分別為AC，BC的中點(diǎn)，∴EF∥AB，且EF=AB ．

在Rt△ACD中，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，∴DE=AC．∵AB=AC，∴DE=EF ．

【探究】

∵AC平分∠BAD，EF∥AB，DE=AC=AE=EC ，∴∠BAC=∠DAC，∠CEF=∠BAC，

∠DEC=2∠DAC=∠BAD．∵∠DEF=90°，∴∠CEF+∠DEC=∠BAC+2∠DAC=90°，∴∠BAC=∠DAC=30°，∴∠BAD=60° ．

【應(yīng)用】

連接AF．∵AC=AB，F為BC的中點(diǎn)，∴AF⊥BC．∵四邊形CDEF是菱形，∴CF=EF=DE=DC．∵DE=EC=EF=1，∴EC=EF=CF=1，∴△ECF是等邊三角形，∴∠ECF=60°，∴∠DCE=60°，∴∠DAC=30°，∴AD=DC=，AF=CF=．∴S四邊形ABCD=S△ADC+S△ABC=ADDC+CBAF==．