Question

（2012•玉林）如圖，已知點O為Rt△ABC斜邊AC上一點，以點O為圓心，OA長為半徑的⊙O與BC相切于點E，與AC相交于點D，連接AE．
（1）求證：AE平分∠CAB；
（2）探求圖中∠1與∠C的數量關系，并求當AE=EC時tanC的值．

Answer 1

分析：（1）連接OE，則OE⊥BC，由于AB⊥BC，故可得出AB∥OE，進而可得出∠2=∠AEO，由于OA=OE，故∠1=∠AEO，進而可得出∠1=∠2；
（2）由三角形外角的性質可知∠1+∠AEO=∠EOC，因為∠1=∠AEO，∠OEC=90°，所以2∠1+∠C=90°；當AE=CE時，∠1=∠C，再根據2∠1+∠C=90°即可得出∠C的度數，由特殊角的三角函數值得出tanC即可．

解答：（1）證明：連接OE，
∵⊙O與BC相切于點E，
∴OE⊥BC，
∵AB⊥BC，
∴AB∥OE，
∴∠2=∠AEO，
∵OA=OE，
∴∠1=∠AEO，
∴∠1=∠2，即AE平分∠CAB；

（2）解：∠C=90°-2∠1，tanC=

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∵∠EOC是△AOE的外角，
∴∠1+∠AEO=∠EOC，
∵∠1=∠AEO，∠OEC=90°，
∴∠C=90°-2∠1，
當AE=CE時，∠1=∠C，
∵2∠1+∠C=90°
∴3∠C=90°，∠C=30°
∴tanC=tan30°=

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點評：本題考查的是切線的性質、三角形外角的性質及等腰三角形的性質，在解答此類題目時要熟知“若出現圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系”．