Question

（2012•玉林）如圖，在平面直角坐標系xOy中，梯形AOBC的邊OB在x軸的正半軸上，AC∥OB，BC⊥OB，過點A的雙曲線y=

k

x

的一支在第一象限交梯形對角線OC于點D，交邊BC于點E．
（1）填空：雙曲線的另一支在第

三

象限，k的取值范圍是

k＞0

；
（2）若點C的坐標為（2，2），當點E在什么位置時，陰影部分的面積S最�。�
（3）若

OD

OC

=

1

2

，S_△OAC=2，求雙曲線的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據反比例函數圖象與性質得到：雙曲線y=

k

x

的一支在第一象限，則k＞0，得到另一支在第三象限；
（2）根據梯形的性質，AC∥x軸，BC⊥x軸，而點C的坐標為（2，2），則A點的縱坐標為2，E點的橫坐標為2，B點坐標為（2，0），再分別把y=2或x=2代入y=

k

x

可得到A點的坐標為（

k

2

，2），E點的坐標為（2，

k

2

），然后計算S_陰影部分=S_△ACE+S_△OBE=

1

2

×（2-

k

2

）×（2-

k

2

）+

1

2

×2×

k

2

=

1

8

k²-

1

2

k+2，配方得

1

8

（k-2）²+

3

2

，當k=2時，S_陰影部分最小值為

3

2

，則E點的坐標為（2，1），即E點為BC的中點；
（3）設D點坐標為（a，

k

a

），由

OD

OC

=

1

2

，則OD=DC，即D點為OC的中點，于是C點坐標為（2a，

2k

a

），得到A點的縱坐標為

2k

a

，把y=

2k

a

代入y=

k

x

得x=

a

2

，確定A點坐標為（

a

2

，

2k

a

），根據三角形面積公式由S_△OAC=2得到

1

2

×（2a-

a

2

）×

2k

a

=2，然后解方程即可求出k的值．

解答：解：（1）三，k＞0；
（2）∵梯形AOBC的邊OB在x軸的正半軸上，AC∥OB，BC⊥OB，
而點C的坐標為（2，2），
∴A點的縱坐標為2，E點的橫坐標為2，B點坐標為（2，0），
把y=2代入y=

k

x

得x=

k

2

；把x=2代入y=

k

x

得y=

k

2

，
∴A點的坐標為（

k

2

，2），E點的坐標為（2，

k

2

），
∴S_陰影部分=S_△ACE+S_△OBE
=

1

2

×（2-

k

2

）×（2-

k

2

）+

1

2

×2×

k

2

=

1

8

k²-

1

2

k+2
=

1

8

（k-2）²+

3

2

，
當k-2=0，即k=2時，S_陰影部分最小，最小值為

3

2

；
∴E點的坐標為（2，1），即E點為BC的中點，
∴當點E在BC的中點時，陰影部分的面積S最小；
（3）設D點坐標為（a，

k

a

），
∵

OD

OC

=

1

2

，
∴OD=DC，即D點為OC的中點，
∴C點坐標為（2a，

2k

a

），
∴A點的縱坐標為

2k

a

，
把y=

2k

a

代入y=

k

x

得x=

a

2

，
∴A點坐標為（

a

2

，

2k

a

），
∵S_△OAC=2，
∴

1

2

×（2a-

a

2

）×

2k

a

=2，
∴k=

4

3

，
∴雙曲線的解析式為y=

4

3x

．

點評：本題考查了反比例函數綜合題：當k＞0時，反比例函數y=

k

x

（k≠0）的圖象分布在第一、三象限；點在反比例函數圖象上，則點的橫縱坐標滿足圖象的解析式；運用梯形的性質得到平行線段，從而找到點的坐標特點．