Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知拋物線：和直線：，點和均在直線上．

（1）求直線的解析式；

（2）若拋物線過點，且拋物線與線段有兩個不同的交點，求的取值范圍；

（3）將直線下移2個單位得到直線，直線與拋物線：交于、兩點，若點的橫坐標為，點的橫坐標為，當，時，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=2x+2；（2）-＜a≤-2或a≥4；（3）或

【解析】

（1）利用待定系數法將點A和點B坐標代入直線表達式求解即可；

（2）將點E坐標代入，求出拋物線表達式，將一次直線解析式和二次函數解析式聯立方程，求出使得這個方程有兩個不同的實數根時a的取值范圍，然后再根據拋物線y=ax2-x+1（a≠0）與線段AB有兩個不同的交點，利用分類討論的方法即可求得a的取值范圍，本題得以解決；

（3）根據題意得出l1的表達式，聯立拋物線和直線表達式，得，根據求出2a+1=，再分0＜x1＜2，-2＜x1＜0兩種情況，分別解不等式求出b的取值范圍即可.

解：（1）∵點和均在直線上，代入得

，

解得：，

∴直線l的解析式為：y=2x+2；

（2）∵拋物線過點，代入拋物線表達式，

得：a+b+1=a，解得b=-1，

∴拋物線表達式為y=ax2-x+1，

∵拋物線與線段AB有兩個不同的交點，

令2x+2=ax2-x+1，
則ax2-3x-1=0，
若直線y=2x+2與拋物線y=ax2-x+1（a≠0）有兩個不同的交點，
則△=（-3）2-4a×（-1）＞0，
解得，a＞-，

∵拋物線y=ax2-x+1（a≠0）與線段AB有兩個不同的交點，點A（，1）和B（1，4），
∴當-＜a＜0時，，

解得，-＜a≤-2，

當a＞0時，，

解得，a≥4；
由上可得，a的取值范圍是-＜a≤-2或a≥4；

（3）由平移可知直線l1的表達式為：y=2x，

聯立直線和拋物線得：，化簡得：，

可知x1x2=，x1x2同號，

若0＜x1＜2，則x2- x1=2，

∴x2=x1+2＞2，4a+2b-3＜0，①

又∵===4，

∴2a+1=，代入①得：

②，

解得：；

若-2＜x1＜0，則x2=-2+x1＜-2，

∴4a-2b+5＜0，③

將2a+1=代入③，得

＜2b-3，④

解得：；

綜上：或.