Question

已知：如圖，O為坐標原點，四邊形OABC為矩形，A(10，0)，C(0，4)，點D是OA的中點，點P在BC上以每秒1個單位的速度由C向B運動。
(1) 求梯形ODPC的面積S與時間t的函數關系式。
(2) t為何值時，四邊形PODB是平行四邊形？
(3) 在線段PB上是否存在一點Q，使得ODQP為菱形。若存在求t值，若不存在，說明理由。
(4) 當△OPD為等腰三角形時，求點P的坐標。

Answer 1

（1）由題意儀，根據梯形的面積公式，得
s==2t+10
（2）∵四邊形PODB是平行四邊形，
∴PB=OD=5，
∴PC=5，
∴t=5
（3）∵ODQP為菱形，
∴OD=OP=PQ=5，
∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：
PC=3
∴t=3
（4）當P₁O=OD=5時，由勾股定理可以求得P₁C=3，
P₂O=P₂D時，作P₂E⊥OA，
∴OE=ED=2.5；
當P₃D=OD=5時，作DF⊥BC，由勾股定理，得P₃F=3，
∴P₃C=2；
當P₄D=OD=5時，作P₄G⊥OA，由勾股定理，得DG=3，
∴OG=8．
∴P₁（2，4），P₂（2.5，4），P₃（3，4），P₄（8，4）

（1）根據梯形的面積公式就可以表示出S與t的函數關系式．
（2）根據平行四邊形的性質就可以知道PB=5，可以求出PC=5，從而可以求出t的值．
（3）要使ODQP為菱形，可以得出PO=5，由三角形的勾股定理就可以求出CP的值而求出t的值．
（4）當P₁O=OD=5或P₂O=P₂D或P₃D=OD=5或P₄D=OD=5時分別作P₂E⊥OA于E，DF⊥BC于F，P₄G⊥OA于G，利用勾股定理P₁C，OE，P₃F，DG的值，就可以求出P的坐標．