Question

【題目】如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，點(diǎn)D為對(duì)角線OB的中點(diǎn)，點(diǎn)E（4，n）在邊AB上，反比例函數(shù) （k≠0）在第一象限內(nèi)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)D、E，且tan∠BOA= ．

（1）求邊AB的長(zhǎng)；
（2）求反比例函數(shù)的解析式和n的值；
（3）若反比例函數(shù)的圖像與矩形的邊BC交于點(diǎn)F，將矩形折疊，使點(diǎn)O與點(diǎn)F重合，折痕分別與x、y軸正半軸交于點(diǎn)H、G，求線段OG的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點(diǎn)E（4，n）在邊AB上，

∴OA=4，

在Rt△AOB中，∵tan∠BOA= ，

∴AB=OA×tan∠BOA=4× =2

（2）

解：根據(jù)（1），可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），

∵點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)D（2，1）

∴ =1，

解得k=2，

∴反比例函數(shù)解析式為y= ，

又∵點(diǎn)E（4，n）在反比例函數(shù)圖像上，

∴ =n，

解得n=

（3）

解：如圖，

設(shè)點(diǎn)F（a，2），

∵反比例函數(shù)的圖像與矩形的邊BC交于點(diǎn)F，

∴ =2，

解得a=1，

∴CF=1，

連接FG，設(shè)OG=t，則OG=FG=t，CG=2﹣t，

在Rt△CGF中，GF2=CF2+CG2，

即t2=（2﹣t）2+12，

解得t= ，

∴OG=t= ．

【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)E的縱坐標(biāo)判斷出OA=4，再根據(jù)tan∠BOA= 即可求出AB的長(zhǎng)度；（2）根據(jù)（1）求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)D是OB的中點(diǎn)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式求出反比例函數(shù)解析式，再把點(diǎn)E的坐標(biāo)代入進(jìn)行計(jì)算即可求出n的值；（3）先利用反比例函數(shù)解析式求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，從而得到CF的長(zhǎng)度，連接FG，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得FG=OG，然后用OG表示出CG的長(zhǎng)度，再利用勾股定理列式計(jì)算即可求出OG的長(zhǎng)度．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線．反比例函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形．有兩條對(duì)稱軸：直線y=x和 y=-x．對(duì)稱中心是：原點(diǎn)；性質(zhì):當(dāng)k＞0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而減小； 當(dāng)k＜0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大才能正確解答此題．