Question

【題目】對于二次函數y=x2﹣3x+2和一次函數y=﹣2x+4，把y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）稱為這兩個函數的“再生二次函數”，其中t是不為零的實數，其圖像記作拋物線E，現有點A（2，0）和拋物線E上的點B（﹣1，n），請完成下列任務；
（1）【嘗試】①當t=2時，拋物線y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）的頂點坐標為
（2）②判斷點A是否在拋物線E上；
（3）③求n的值．
（4）【發現】通過（2）和（3）的演算可知，對于t取任何不為零的實數，拋物線E總過定點，坐標為 ．
（5）【應用】
①二次函數y=﹣3x2+5x+2是二次函數y=x2﹣3x+3和一次函數y=﹣2x+4的一個“再生二次函數”嗎？如果是，求出t的值；如果不是，說明理由；
②以AB為邊作矩形ABCD，使得其中一個頂點落在y軸上；若拋物線E經過A，B，C，D其中的三點，求出所有符合條件的t的值．

Answer 1

【答案】
（1）（1，﹣2）
（2）

解：∵x=2時，y=t（4﹣6+2）+（1﹣t）（﹣4+4）=0，

∴點A（2，0）在拋物線E上

（3）

解：將（﹣1，n）代入y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），

得n=t（1+3+2）+（1﹣t）（2+4）=6，

∴n的值為6

（4）A（2，0）和B（﹣1，6）
（5）

解：①不是．

∵將x=﹣1代入y=﹣3x2+5x+2，得到y=﹣6≠6，

∴二次函數y=y=﹣3x2+5x+2的圖像不經過等B，

∴二次函數y=﹣3x2+5x+2不是二次函數y=x2﹣3x+3和一次函數y=﹣2x+4的一個“再生二次函數”

②如圖，作矩形ABC1D1和矩形ABC2D2，過點B作BK⊥y軸于K，過點D1作D1G⊥x軸于G，過點C2作C2H⊥y軸于H，過點B作BM⊥x軸于M，C2H與BM交于點T．

∵AM=3，BM=6，BK=1，

由△KBC1∽△MBA，得 = ，即 = ，解得C1K= ，

∴C1（0， ），

由△KBC1≌△GAD1，得到AG=KB=1，GD1=KC1= ，

∴D1（3， ），

由△OAD2∽△GAD1，得到 = ，可得OD2=1，

∴D2（0，﹣1），

由△TBC2≌△OD2A，得到TC2=OA=2，BT=OD2=1，

∴C3（﹣3，5），

∵拋物線總是經過A、B，

∴符合條件的三點只可能是A、B、C或A、B、D．

①當拋物線經過A、B、C1時，將C1（0， ）代入y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得到t=﹣ ，

②當拋物線經過A、B、D1時，將D1（3， ）代入y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得到t= ，

③當拋物線經過A、B、C2時，將C2（﹣3，5）代入y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得到t=﹣

④當拋物線經過A、B、D2時，將D2（0，﹣1）代入y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得到t= ，

綜上所述，滿足條件的t的值為﹣ 或 或﹣ 或

【解析】【嘗試】（1）解：當t=2時，
拋物線y=2（x2﹣3x+2）+（1﹣2）（﹣2x+4）
=2x2﹣4x
=2（x﹣1）2﹣2，
∴頂點坐標（1，﹣2）．
所以答案是（1，﹣2）．
【發現】解：通過（2）和（3）的演算可知，對于t取任何不為零的實數，拋物線E總過定點，坐標為A（2，0）和B（﹣1，6）．
所以答案是A（2，0）和B（﹣1，6）．
【考點精析】關于本題考查的二次函數的圖象和二次函數的性質，需要了解二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．