Question

如圖，直線（b＞0）與雙曲線(＞0)交于A、B兩點，連接OA、OB， AM⊥軸于M，BN⊥X軸于N；有以下結論：①OA =OB；②△AOM≌△BON；③若∠AOB=45°，則S_△AOB=k；④AB=時，ON=BN=1，其中結論正確的是（    ）

A. ①②③④           B. ①②③           C. ①②          D. ①②④

Answer 1

A

試題分析：①②設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立與，得x²-bx+k=0，則x₁•x₂=k，又x₁•y₁=k，比較可知x₂=y₁，同理可得x₁=y₂，即ON=OM，AM=BN，可證結論；
③作OH⊥AB，垂足為H，根據對稱性可證△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，可證S_△AOB=k；
④延長MA，NB交于G點，可證△ABG為等腰直角三角形，當AB=時，GA=GB=1，則ON-BN=GN-BN=GB=1.
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入中，得x₁•y₁=x₂•y₂=k，
聯立與，得x²-bx+k=0，
則x₁•x₂=k，又x₁•y₁=k，
∴x₂=y₁，
同理x₂•y₂=k，
可得x₁=y₂， 
∴ON=OM，AM=BN，
∴①OA=OB，②△AOM≌△BON，正確；
③作OH⊥AB，垂足為H，

∵OA=OB，∠AOB=45°，
∵②△AOM≌△BON，正確；
∴∠MOA=∠BON=22.5°，
∠AOH=∠BOH=22.5°，
∴△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，
∴S_△AOB=S_△AOH+S_△BOH=S_△AOM+S_△BON=k+k=k，正確；
④延長MA，NB交于G點
 
∵NG=OM=ON=MG，BN=AM，
∴GB=GA，
∴△ABG為等腰直角三角形，
當AB=時，GA=GB=1，
∴ON-BN=GN-BN=GB=1，正確．
正確的結論有①②③④．
故選A．
點評：解題的關鍵是明確反比例函數圖象上點的坐標特點，反比例函數圖象的對稱性．