Question

如圖，點(diǎn)M是直線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN垂直于軸于點(diǎn)N，軸上是否存在點(diǎn)P，使△MNP為等腰直角三角形，請寫出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)        ．

Answer 1

（0，0），（0，1），（0，），（0，-3）

試題分析：由題意，應(yīng)分兩類情況討論：當(dāng)MN為直角邊時(shí)和當(dāng)MN為斜邊時(shí)．

解：當(dāng)M運(yùn)動到（-1，1）時(shí)，ON=1，MN=1，∵M(jìn)N⊥x軸，所以由ON=MN可知，（0，0）就是符合條件的一個(gè)P點(diǎn)；又當(dāng)M運(yùn)動到第三象限時(shí)，要MN=MP，且PM⊥MN，設(shè)點(diǎn)M（x，2x+3），則有-x=-（2x+3），解得x=-3，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，-3）．如若MN為斜邊時(shí)，則∠ONP=45°，所以O(shè)N=OP，設(shè)點(diǎn)M（x，2x+3），則有-x=化簡得-2x=-2x-3，這方程無解，所以這時(shí)不存在符合條件的P點(diǎn)；又當(dāng)點(diǎn)M′在第二象限，M′N′為斜邊時(shí)，這時(shí)N′P=M′P，∠M′N′P=45°，設(shè)點(diǎn)M′（x，2x+3），則OP=ON′，而OP=∴有-x=解得x=，這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）．因此，其他符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)是（0，0），（0，），（0，-3）．故本題答案為：（0，0），（0，），（0，-3）
點(diǎn)評：本題主要采用分類討論法，來求得符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)