Question

【題目】如圖1，點是線段的中點，分別以和為邊在線段的同側作等邊三角形和等邊三角形，連結和，相交于點，連結，

(1)求證：；

(2)求的大小；

(3)如圖2，固定不動，保持的形狀和大小不變，將繞著點旋轉(和不能重疊)，求的大小．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)∠AEB=60°；(3)∠AEB=60°.

【解析】

（1）由等邊三角形的性質可得，，繼而可得∠AOC=∠DOB，利用SAS證明，利用全等三角形的性質即可得；；

（2）先證明，從而可得 ∠ODB=∠DBO，再利用三角形外角的性質可求得，，進而根據即可求得答案；

（3）證明，從而可得，再由，可得，設與交于點，利用三角形內角和定理以及對頂角的性質即可求得．

（1）∵和均為等邊三角形，

∴，，

∴，

即∠AOC=∠DOB，

∴（SAS）

∴；

（2）∵O為AD中點，

∴DO=AO，

∵OA=OB，

∴，

∴∠ODB=∠DBO，

∵∠ODB+∠DBO=∠AOB=60°，

∴

同理，，

∴；

（3）∵，

∴，

∴，

又∵CO=DO，AO=BO，AO=DO，

∴OC=OB，

∴（SAS），

∴，

∵，

∴，

∴，

設與交于點，

∵，，

又，

∴．