Question

【題目】在正方形中，，，是邊上一點，連接，過點，作，，垂足分別為，，如圖1．

（1）請探究，，這三條線段有怎樣的數量關系？請說明理由；

（2）若點在的延長線上，如圖2，那么這三條線段的數量關系是 （直接寫結果）

（3）若點在的延長線上，如圖3，那么這三條線段的數量關系是 （直接寫結果）

Answer 1

【答案】(1)BE=DF+EF,理由見解析; （2） DF=BE+EF;（3） EF=DF+BE．

【解析】

（1）如下圖，由已知條件易得∠1=∠2，∠AEB=∠DFA=90°，這樣結合AB=AD即可證得△ABE≌△DAF，由此可得BE=AF，AE=DF，結合AF=AE+EF即可得到BE=DF+EF；

（2）和（1）同理可證得△ABE≌△DAF，由此可得BE=AF，AE=DF，結合AF=AE-EF即可得到BE=DF-EF；

（3）和（1）同理可證得△ABE≌△DAF，由此可得BE=AF，AE=DF，結合AF=EF-AE即可得到BE=EF-DF.

（1） ．理由如下：

∵，

∴．

∵，

∴．

∴．

∵在和中，

∴△ABE≌△DAF(AAS)，

∴，，

∴．

（2）如圖2，和（1）同理可得△ABE≌△DAF，

∴BE=AF，AE=DF，

又∵AF=AE-EF，

∴BE=DF-EF；

（3）如圖3，和（1）同理可證得△ABE≌△DAF，

∴BE=AF，AE=DF，

又∵AF=EF-AE，

∴BE=EF-DF.