Question

（1）如圖1，BP為△ABC的角平分線，PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，AB=30，BC=23，請補全圖形，并求△ABP與△BPC的面積的比值；
（2）如圖2，分別以△ABC的邊AB、AC為邊向外作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，CD與BE相交于點O，判斷∠AOD與∠AOE的數量關系，并證明；
（3）在四邊形ABCD中，已知BC=DC，且AB≠AD，對角線AC平分∠BAD，請直接寫出∠B和∠D的數量關系．

Answer 1

分析：（1）做PN⊥BC于N，由題意推出PM=PN，然后根據三角形的面積公式，即可推出兩個三角形的面積之比．
（2）過點A作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，推出△DAC≌△BAE，可知它們的面積相等，即可推出AM=AN，即可推出：∠AOD=∠AOE．
（3）根據題意畫出圖形，做CM⊥AB，CN⊥AD，推出△CMB≌△CND，即得∠B+∠D=180°．

解答：（1）解：如圖1所示．（1分）
∵BP為△ABC的角平分線，PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，
∴PM=PN．（2分）
∵S△ABP=

1

2

AB•PM，S△BPC=

1

2

BC•PN，AB=30，BC=23，
∴

S△ABP

S△BPC

=

AB

BC

=

30

23

．（3分）

（2）答：∠AOD與∠AOE的數量關系為相等．
證明：如圖2，過點A作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，
∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°．
∵∠BAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠BAE．
∴△DAC≌△BAE．
∴DC=BE，
∴S_△DAC=S_△BAE．（4分）
∵S△DAC=

1

2

DC•AM，S△BAE=

1

2

BE•AN，
∴AM=AN．（5分）
∴點A在∠DOE的角平分線上．
∴∠AOD=∠AOE．（6分）

（3）作CM⊥AB，CN⊥AD，
則△CMB和△CND是直角三角形，
∵AC為∠BAD的角平分線，
∴CM=CN，
在Rt△CMB和Rt△CND中，

CM=CN CB=DC

，
∴Rt△CMB≌Rt△CND（HL），
∴∠MBC=∠NDC，
∵∠MBC+∠ABC=180°，
∴∠ADC+∠ABC=180°，即∠B+∠D=180°．

點評：本題主要考查全等三角形的判定和性質、角平分線的性質、等邊三角形的性質．