Question

（1）如圖1，BP為ABC的角平分線，PMAB于M，PNBC于N，AB =30，BC =23，求ABP與BPC的面積的比值；

（2）如圖2，分別以ABC的邊AB、AC為邊向外作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，CD與BE相交于點O，判斷AOD與AOE的數量關系，并證明；

（3）在四邊形ABCD中，已知BC=DC，且AB≠AD，對角線AC平分BAD，請畫出圖形，并直接寫出B和D的數量關系．

 

        

 

 

Answer 1

【答案】

（1）

∵平分

∴

在和中

∴

∴

∵

∴

∴所求面積比值為

（2）答：∠AOD與∠AOE的數量關系為相等．

證明：如圖2，過點A作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，

∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，

∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°．

∵∠BAC=∠CAB，

∴∠DAC=∠BAE．

∴△DAC≌△BAE．

∴DC=BE，

∴S_△DAC=S_△BAE．

∵S_△DAC=DC•AM，S_△BAE=BE•AN，

∴AM=AN．

∴點A在∠DOE的角平分線上．

∴∠AOD=∠AOE．

（3）作CM⊥AB，CN⊥AD，

∵AC為∠BAD的角平分線，

∴CM=CN，

∵CB=DC，

∴△CMB≌△CND，

∴∠MBC=∠NDC，

∵∠MBC+∠ABC=180°，

∴∠ADC+∠ABC=180°，即∠B+∠D=180°．

【解析】（1）做PN⊥BC于N，由題意推出PM=PN，然后根據三角形的面積公式，即可推出兩個三角形的面積之比．（2）過點A作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，推出△DAC≌△BAE，可知它們的面積相等，即可推出AM=AN，即可推出：∠AOD=∠AOE，（3）根據題意畫出圖形，做CM⊥AB，CN⊥AD，推出△CMB≌△CND，即得∠B+∠D=180°．