Question

【題目】如圖1，點(diǎn)O為直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線(xiàn)OC，使∠BOC=120°．將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OM在射線(xiàn)OB上，另一邊ON在直線(xiàn)AB的下方．

（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2，使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且恰好平分∠BOC．問(wèn)：此時(shí)直線(xiàn)ON是否平分∠AOC？請(qǐng)說(shuō)明理由．

（2）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒6°的速度沿逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，第t秒時(shí)，直線(xiàn)ON恰好平分銳角∠AOC，則t的值為 （直接寫(xiě)出結(jié)果）．

（3）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3，使ON在∠AOC的內(nèi)部，求∠AOM﹣∠NOC的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）ON平分∠AOC，理由見(jiàn)解析；（2）10或40；（3）30°．

【解析】

試題分析：（1）由角的平分線(xiàn)的定義和等角的余角相等求解；

（2）由∠BOC=120°可得∠AOC=60°，則∠RON=30°，即旋轉(zhuǎn)60°或240°時(shí)ON平分∠AOC，據(jù)此求解；

（3）因?yàn)?/span>∠MON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON，然后作差即可．

解：（1）直線(xiàn)ON平分∠AOC．理由：

設(shè)ON的反向延長(zhǎng)線(xiàn)為OD，

∵OM平分∠BOC，

∴∠MOC=∠MOB，

又∵OM⊥ON，

∴∠MOD=∠MON=90°，

∴∠COD=∠BON，

又∵∠AOD=∠BON（對(duì)頂角相等），

∴∠COD=∠AOD，

∴OD平分∠AOC，

即直線(xiàn)ON平分∠AOC．

（2）∵∠BOC=120°

∴∠AOC=60°，

∴∠BON=∠COD=30°，

即旋轉(zhuǎn)60°時(shí)ON平分∠AOC，

由題意得，6t=60°或240°，

∴t=10或40；

（3）∵∠MON=90°，∠AOC=60°，

∴∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON，

∴∠AOM﹣∠NOC=（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）=30°．