Question

【題目】（題文）（題文）在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動．△ABC是邊長為2的等邊形，E是AC上一點(diǎn)，小亮以BE為邊向BE的右側(cè)作等邊三角形BEF，連接CF．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時，EF、BC相交于點(diǎn)D，小亮發(fā)現(xiàn)有兩個三角形全等，請你找出來，并證明．

（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段上運(yùn)動時，點(diǎn)F也隨著運(yùn)動，若四邊形ABFC的面積為，求AE的長．

（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在AC的延長線上運(yùn)動時，CF、BE相交于點(diǎn)D，請你探求△ECD的面積S1與△DBF的面積S2之間的數(shù)量關(guān)系．并說明理由．

（4）如圖2，當(dāng)△ECD的面積S1= 時，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）△ABE≌△CBF，證明見解析；（2）；（3）S2﹣S1=，證明見解析；（4）3

【解析】（1）結(jié)論：△ABE≌△CBF．理由等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)SAS即可證明；

（2）由△ABE≌△CBF，推出S△ABE=S△BCF，推出S四邊形BECF=S△BEC+s△BCF=S△BCE+S△ABE=S△ABC=，由S四邊形ABCF=，推出S△ABE=，再利用三角形的面積公式求出AE即可；

（3）結(jié)論：S2-S1=．利用全等三角形的性質(zhì)即可證明；

（4）首先求出△BDF的面積，由CF∥AB，則△BDF的BF邊上的高為，可得DF=，設(shè)CE=x，則2+x=CD+DF=CD+，推出CD=x-，由CD∥AB，可得，即，求出x即可；

（1）結(jié)論：△ABE≌△CBF．

理由：如圖1中，

∵△ABC，△BEF都是等邊三角形，

∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF，

∴∠ABE=∠CBF，

∴△ABE≌△CBF．

（2）如圖1中，∵△ABE≌△CBF，

∴S△ABE=S△BCF，

∴S四邊形BECF=S△BEC+s△BCF=S△BCE+S△ABE=S△ABC=，

∵S四邊形ABCF=，

∴S△ABE=，

∴AEABsiin60°=，

∴AE=．

（3）結(jié)論：S2-S1=．

理由：如圖2中，

∵△ABC，△BEF都是等邊三角形，

∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF，

∴∠ABE=∠CBF，

∴△ABE≌△CBF，

∴S△ABE=S△BCF，

∵S△BCF-S△BCE=S2-S1，

∴S2-S1=S△ABE-S△BCE=S△ABC=．

（4）由（3）可知：S△BDF-S△ECD=，

∵S△ECD=，

∴S△BDF=，

∵△ABE≌△CBF，

∴AE=CF，∠BAE=∠BCF=60°，

∴∠ABC=∠DCB，

∴CF∥AB，則△BDF的BF邊上的高為，可得DF=，

設(shè)CE=x，則2+x=CD+DF=CD+，

∴CD=x-，

∵CD∥AB，

∴，即，

化簡得：3x2-x-2=0，

解得x=1或（舍棄），

∴CE=1，AE=3．