Question

【題目】如圖，已知矩形OABC的兩邊OA、OC分別落在x軸、y軸的正半軸上，頂點B的坐標是（6，4），反比例函數y=（x＞0）的圖象經過矩形對角線的交點E，且與BC邊交于點D．

（1）①求反比例函數的解析式與點D的坐標；②直接寫出△ODE的面積；

（2）若P是OA上的動點，求使得“PD+PE之和最小”時的直線PE的解析式．

Answer 1

【答案】（1）①D（1.5，4），②4.5；（2）y=﹣4x+10．

【解析】

試題分析：（1）①連接OE，則O、E、三點共線，則E是OB的中點，即可求得E的坐標，利用待定系數法求得函數的解析式，進而求得D的坐標；②根據S△ODE=S△OBC﹣S△OCD﹣S△BDE即可求解；（2）作E關于OA軸的對稱點E'，則直線DE'就是所求的直線PE，利用待定系數法即可求解．

試題解析：（1）①如圖：連接OB，則O、E、B三點共線．∵B的坐標是（6，4），E是矩形對角線的交點，∴E的坐標是（3，2），∴k=3×2=6，則函數的解析式是y=．當y=4時，x=1.5，即D的坐標是（1.5，4）；②S△OBC=BCOC=×6×4=12，S△OCD=OCCD=×4×1.5=3，S△BDE=×（6﹣1.5）×2=4.5，則S△ODE=S△OBC﹣S△OCD﹣S△BDE=12﹣3﹣3﹣4.5=4.5；（2）作E關于OA軸的對稱點E'，則E'的坐標是（3，﹣2）．連接E'D，與x軸交點是P，此時PO+PE最小．設y=mx+n，把E'和D的坐標代入得：，解得：，

則直線PE的解析式是y=﹣4x+10．