Question

【題目】如圖，二次函數y=x2﹣4x的圖象與x軸、直線y=x的一個交點分別為點A、B，CD是線段OB上的一動線段，且CD=2，過點C、D的兩直線都平行于y軸，與拋物線相交于點F、E，連接EF．

（1）點A的坐標為　 　，線段OB的長=　 　；

（2）設點C的橫坐標為m．

①當四邊形CDEF是平行四邊形時，求m的值；

②連接AC、AD，求m為何值時，△ACD的周長最小，并求出這個最小值．

Answer 1

【答案】（1） A（4，0），5；（2）①；②當m=時，△ACD的周長最小，這個最小值為8．

【解析】

（1）根據y=x2﹣4x中，令y=0，則0=x2﹣4x，可求得A（4，0），解方程組，可得B（5，5），進而得出OB的長；

（2）①根據C（m，m），F（m，m2﹣4m），可得CF=m﹣（m2﹣4m），根據D（m，m），E（m，（m）2﹣4（m）），可得DE=m[（m）2﹣4（m）]，最后根據當四邊形CDEF是平行四邊形時，CF=DE，求得m的值即可；

②先過點A作CD的平行線，過點D作AC的平行線，交于點G，則四邊形ACDG是平行四邊形，得出AC=DG，再作點A關于直線OB的對稱點A'，連接A'D，則A'D=AD，根據當A'，D，G三點共線時，A'D+DG=A'G最短，可得此時AC+AD最短，然后求得直線A'G的解析式為yx+4，解方程組可得D、C的坐標，最后根據兩點間距離公式，求得△ACD的周長的最小值．

（1）∵y=x2﹣4x中，令y=0，則0=x2﹣4x，

解得：x1=0，x2=4，

∴A（4，0），解方程組，

可得：或，

∴B（5，5），

∴OB．

故答案為：（4，0），5；

（2）①∵點C的橫坐標為m，且CF∥DE∥y軸，

∴C（m，m），F（m，m2﹣4m）．

又∵CD=2，且CD是線段OB上的一動線段，

∴D（m，m），E（m，（m）2﹣4（m）），

∴CF=m﹣（m2﹣4m），DE=m[（m）2﹣4（m）]．

∵當四邊形CDEF是平行四邊形時，CF=DE，

∴m﹣（m2﹣4m）=m[（m）2﹣4（m）]，

解得：；

②如圖所示，過點A作CD的平行線，過點D作AC的平行線，交于點G，則四邊形ACDG是平行四邊形，

∴AC=DG，

作點A關于直線OB的對稱點A'，連接A'D，則A'D=AD，

∴當A'，D，G三點共線時，A'D+DG=A'G最短，此時AC+AD最短．

∵A（4，0），AG=CD=2，

∴A'（0，4），G（4），

設直線A'G的解析式為y=kx+b，則，

解得：，

∴直線A'G的解析式為yx+4，

解方程組，

可得：，

∴D（，）．

∵CD=2，且CD是線段OB上的一動線段，

∴C（，），

∴點C的橫坐標m=．

∵AD=A'D，AC=DG，CD=AG=2，

∴△ACD的最小值為A'G+AG==6+2=8，

故當m=時，△ACD的周長最小，這個最小值為8．