Question

【題目】如圖，已知直線y=kx-6與拋物線y=ax2+bx+c相交于A，B兩點，且點

A（1，-4）為拋物線的頂點，點B在x軸上．直線AB交y軸于點D,拋物線交y軸于點C．

（1）求直線AB的解析式；

（2）求拋物線的解析式；

（3）在y軸上是否存在點Q，使△ABQ為直角三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）y=2x-6，（2）y=x2-2x-3；（3）（0，-）或（0，）或（0，-1）或（0，-3）．

【解析】

試題分析：（1）把點A坐標代入y=kx-6，根據待定系數法即可求得直線AB的解析式；

（2）根據直線AB的解析式求出點B的坐標，點A是拋物線的頂點，那么可以將拋物線的解析式設為頂點式，再代入點B的坐標，依據待定系數法即可求解；

（3）分別以A、B、Q為直角頂點，分類進行討論．找出相關的相似三角形，依據對應線段成比例進行求解即可．

試題解析：（1）把A（1，-4）代入y=kx-6，得k=2，

∴直線AB的解析式為y=2x-6，

（2）∵拋物線的頂點為A（1，-4），

∴設此拋物線的解析式為y=a（x-1）2-4，

∵點B在直線y=2x-6上，且橫坐標為0，

∴點B的坐標為（3，0），

又∵點B在拋物線y=a（x-1）2-4上，

∴a（3-1）2-4=0，解之得a=1，

∴此拋物線的解析式為y=（x-1）2-4，即y=x2-2x-3；

（3）在y軸上存在點Q，使△ABQ為直角三角形．理由如下：

作AE⊥y軸，垂足為點E．

又∵點D是直線y=2x-6與y軸的交點，點C是拋物線y=x2-2x-3與y軸的交點

∴E（0，-4），D（0，-6），C（0，-3）

∴OD=6，OE=4，AE=1，ED=2，OC=3，OB=3，BD=，AD=

①如圖，當∠Q1AB=90°時，△DAQ1∽△DOB，

∴，即，

∴DQ1=，

∴OQ1=6-=，即Q1（0，-）；

②如圖，當∠Q2BA=90°時，△BOQ2∽△DOB，

∴，即，

∴OQ2=，即Q2（0，）；

③如圖，當∠AQ3B=90°時，則△BOQ3∽△Q3EA，

∴，即，

∴OQ32-4OQ3+3=0，

∴OQ3=1或3，

即Q3（0，-1），Q4（0，-3）．

綜上，Q點坐標為（0，-）或（0，）或（0，-1）或（0，-3）．