Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為矩形，O為AC中點，過點O作AC的垂線分別交AD、BC于點E、F，連接AF、CE．

（1）求證：四邊形AFCE是菱形．
（2）若AC=8，EF=6，求BF的長.

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵O為AC中點，EF⊥AC，
∴EF為AC的垂直平分線，
∴EA=EC，FA=FC，
∴∠EAC=∠ECA，∠FAC=∠FCA．
∵AE∥CF，
∴∠EAC=∠FCA，
∴∠FAC=∠ECA，
∴AF∥CE，
∴四邊形AFCE平行四邊形，
又∵EA=EC，
∴平行四邊形AFCE是菱形．

（2）解：∵四邊形AFCE是菱形，AC=8，EF=6，
∴OE=3，OA=4，
又∵EF⊥AC，
∴AE=CF=5，
設BF=x，
在Rt△ABF中，
AB2=AF2﹣BF2，
在Rt△ABC中，
AB2=AC2﹣BC2．
∴52﹣x2=82-（x+5）2，
解得 x=，
∴ BF=．

【解析】（1）由中垂線定義得EF為AC的垂直平分線，再由其性質得EA=EC，FA=FC；根據等腰三角形性質——等邊對等角得∠EAC=∠ECA，
∠FAC=∠FCA；由平行線的性質知∠EAC=∠FCA，等量代換即可得∠FAC=∠ECA，由平行線的判定得AF∥CE，根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形得四邊形AFCE平行四邊形；再根據一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形得證．
（2）由菱形的性質和已知條件得OE=3，OA=4，再由勾股定理得AE=CF=5，設BF=x；在Rt△ABF和Rt△ABC中，由勾股定理得
AB2=AF2﹣BF2，AB2=AC2﹣BC2．代入數值即可得出方程，解之即可得出答案.
【考點精析】掌握等腰三角形的性質和勾股定理的概念是解答本題的根本，需要知道等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．