Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A，C分別在x軸，y軸上，四邊形ABCO為矩形，AB=16，AC=20,點D與點A關于y軸對稱，點E、F分別是線段AD、AC上的動點（點E不與點A、D重合），且∠CEF=∠ACB.

（1）直接寫出BC的長是 ， 點D的坐標是；
（2）證明：△AEF與△DCE相似；
（3）當△EFC為等腰三角形時，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）12,（12,0）
（2）證明：∵點D與點A關于y軸對稱，
∴∠CDE=∠CAO，
∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO，
∴∠CDE=∠CEF，
又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE，
∴∠AEF=∠DCE，
∴△AEF∽△DCE.
（3）解：當△EFC為等腰三角形時，有以下三種情況：
①當CE=EF時，
∵△AEF∽△DCE，
∴△AEF≌△DCE，
∴AE=CD=20，
∴OE=AE－OA=20－12=8，
∴E（8，0）.
②當EF=FC時，
如圖所示，過點F作FM⊥CE于M，則點M為CE中點，
∴CE=2ME=EF，
∵點D與點A關于y軸對稱，
∴CD=AC=20，
∵△AEF∽△DCE，
∴ =，
∴AE=，
∴OE=AE－OA=，
∴E（，0）.
③當CE=CF時，則有∠CFE=∠CEF，
∵∠CEF=∠ACB=∠CAO，
∴∠CFE=∠CAO，
即此時F點與A點重合，這與已知條件矛盾.
綜上所述，當△EFC為等腰三角形時，點E的坐標為（8，0）或（，0）.

【解析】解（1）∵四邊形ABCO為矩形，
∴AO=BC，AB=OC，
又∵AB=16，AC=20，
∴BC=AO=12，
∴A（-12，0），
∵點D與點A關于y軸對稱，
∴D（12，0）.
所以答案是：12，（12，0）.
【考點精析】根據題目的已知條件，利用等腰三角形的性質和勾股定理的概念的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．