Question

【題目】如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，E、F是AD邊上的兩個動點，且AE=FD，連接BE、CF、BD，CF與BD交于點G，連接AG交BE于點H，連接DH，下列結論正確的個數是（ ） ①△ABG∽△FDG ②HD平分∠EHG ③AG⊥BE ④S△HDG：S△HBG=tan∠DAG ⑤線段DH的最小值是2 ﹣2．

A.2
B.3
C.4
D.5

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠ABE=∠DCF，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG=∠DCF，
∴∠ABE=∠DAG，
∵∠DAG+∠BAH=90°，
∴∠BAE+∠BAH=90°，
∴∠AHB=90°，
∴AG⊥BE，故③正確，
同法可證：△AGB≌△CGB，
∵DF∥CB，
∴△CBG∽△FDG，
∴△ABG∽△FDG，故①正確，
∵S△HDG：S△HBG=DG：BG=DF：BC=DF：CD=tan∠FCD，
又∵∠DAG=∠FCD，
∴S△HDG：S△HBG=tan∠FCD，tan∠DAG，故④正確
取AB的中點O，連接OD、OH，
∵正方形的邊長為4，
∴AO=OH= ×4=2，
由勾股定理得，OD= =2 ，
由三角形的三邊關系得，O、D、H三點共線時，DH最小，
DH最小=2 ﹣2．
無法證明DH平分∠EHG，故②錯誤，
故①③④⑤正確，
故選C．

首先證明△ABE≌△DCF，△ADG≌△CDG（SAS），△AGB≌△CGB，利用全等三角形的性質，等高模型、三邊關關系一一判斷即可．