Question

【題目】如圖，，垂足為，垂足為B，E為的中點，．

（1）求證：．

（2）有同學認為是線段的垂直平分線，你認為對嗎？說說你的理由；

（3）若，求的度數．

Answer 1

【答案】（1）詳情見解析；（2）對，理由見解析；（3）50°

【解析】

（1）首先根據題意證明∠ADB=∠BEC，然后利用“AAS”證明△ADB與△BEC全等，最后利用全等三角形性質進一步證明即可；

（2）根據E是AB的中點可知AE=BE，從而得出AE=AD，然后根據AB=BC得出∠BAC=∠BCA，據此結合題意進一步證明△ADC△AEC，由此得出DC=CE，從而得出C點在線段DE的垂直平分線上，最后進一步證明出A點在線段DE的垂直平分線上，由此即可得出結論；

（3）首先利用全等三角形性質得出DB=CE，結合題意進一步得出∠CBD=∠BCD，據此求出∠CBD的度數，然后進一步求解即可.

（1）∵BD⊥EC，DA⊥AB，

∴∠BEC+∠DBA=90°，∠DBA+∠ADB=90°，

∴∠ADB=∠BEC，

在△ADB與△BEC中，

∵∠ADB=∠BEC，∠DAB=∠EBC，AB=BC，

∴△ADB△BEC（AAS），

∴BE=AD；

（2）對的，是線段的垂直平分線，理由如下：

∵E是AB中點，

∴AE=BE,

∵BE=AD，

∴AE=AD，

∵AB=BC，

∴∠BAC=∠BCA，

∵DA⊥AB，CB⊥AB，

∴AD∥BC，

∴∠DAC=∠BCA，

∴∠BAC=∠DAC，

在△ADC與△AEC中，

∵AD=AE，∠DAC=∠EAC，AC=AC，

∴△ADC△AEC（SAS），

∴DC=CE，

∴C點在線段DE的垂直平分線上，

∵AD=AE，

∴A點在線段DE的垂直平分線上，

∴AC垂直平分DE；

（3）∵AC是線段DE的垂直平分線，

∴CD=CE，

∵△ADB△BEC（AAS），

∴DB=CE，

∴CD=BD，

∴∠CBD=∠BCD，

∵∠ABD=25°，

∴∠CBD=90°25°=65°，

∴∠BDC=180°2∠CBD=50°.