Question

（2013年四川自貢10分）如圖，點B、C、D都在⊙O上，過點C作AC∥BD交OB延長線于點A，連接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=cm．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）求由弦CD、BD與弧BC所圍成的陰影部分的面積．（結果保留π）

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：如圖，連接BC，OD，OC，設OC與BD交于點M，

根據圓周角定理得：∠COB=2∠CDB=2×30°=60°，

∵AC∥BD，∴∠A=∠OBD=30°。

∴∠OCA=180°﹣30°﹣60°=90°，即OC⊥AC。

∵OC為半徑，∴AC是⊙O的切線。

（2）由（1）知，AC為⊙O的切線，∴OC⊥AC。

∵AC∥BD，∴OC⊥BD。

∵DB=，∴由垂徑定理可知，MD=MB=BD=．

在Rt△OBM中，∠COB=60°，，

在△CDM與△OBM中，

∵，∴△CDM≌△OBM（ASA）。∴S_△CDM=S_△OBM。

∴陰影部分的面積。

【解析】（1）求出∠COB的度數，求出∠A的度數，根據三角形的內角和定理求出∠OCA的度數，根據切線的判定推出即可；

（2）如解答圖所示，解題關鍵是證明△CDM≌△OBM，進行等積轉換，得到S_陰影=S_扇形BOC。　

考點：圓周角定理，平行的性質，切線的判定和性質，全等三角形的判定和性質，扇形面積的計算，轉換思想的應用。