Question

（2013年四川自貢12分）將兩塊全等的三角板如圖①擺放，其中∠A₁CB₁=∠ACB=90°，∠A₁=∠A=30°．

（1）將圖①中的△A₁B₁C順時針旋轉(zhuǎn)45°得圖②，點P₁是A₁C與AB的交點，點Q是A₁B₁與BC的交點，求證：CP₁=CQ；

（2）在圖②中，若AP₁=2，則CQ等于多少？

（3）如圖③，在B₁C上取一點E，連接BE、P₁E，設(shè)BC=1，當BE⊥P₁B時，求△P₁BE面積的最大值．

 

Answer 1

【答案】

解答：（1）證明：∵∠B₁CB=45°，∠B₁CA₁=90°，∴∠B₁CQ=∠BCP₁=45°。

∵在△B₁CQ和△BCP₁中，，

∴△B₁CQ≌△BCP₁（ASA）。∴CQ=CP₁。

（2）如圖，過點P₁作P₁D⊥CA于D，

∵∠A=30°，∴P₁D=AP₁=1。

∵∠P₁CD=45°，∴。.

∴CP₁=P₁D=。

又∵CP₁=CQ，∴CQ=。

（3）∵∠P₁BE=90°，∠ABC=60°，∴∠A=∠CBE=30°。∴AC=、BC 。

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠ACP₁=∠BCE，∴△AP₁C∽△BEC。∴AP₁：BE=AC：BC=：1。

設(shè)AP₁=x，則BE=x，

在Rt△ABC中，∠A=30°，∴AB=2BC=2。

∴。

∵，∴當x=1時，S_{△P1BE（max）}=。

【解析】（1）先判斷∠B₁CQ=∠BCP₁=45°，利用ASA即可證明△B₁CQ≌△BCP₁，從而得出結(jié)論。

（2）過點P₁作P₁D⊥CA于D，在RtADP₁中，求出P₁D，在Rt△CDP₁中求出CP₁，繼而可得出CQ的長度。

（3）證明△AP₁C∽△BEC，則有AP₁：BE=AC：BC=：1，設(shè)AP₁=x，則BE=x，得出S_△P1BE關(guān)于x的表達式，利用配方法求最值即可。　

考點：旋轉(zhuǎn)問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，由實際問題列函數(shù)關(guān)系式，二次函數(shù)最值。