Question

已知，如圖，PA切⊙O于A，△ABC為⊙O的內接三角形，CA∥EP，AB、CB的延長線分別交DP于點D、E．
（1）求證：DE•DP=DA•DB．
（2）若AB=4，AC=6，DB=3，求DP的長．

Answer 1

分析：（1）根據題意可證得△BDE∽△PDA，從而得出DE•DP=DA•DB；
（2）可證得△BDE∽△BAC，則

AC

DE

=

AB

BD

，從而求得DE，

解答：（1）證明：∵CA∥EP，
∴∠C=∠DEB，∠D=∠CAD，
∵PA是⊙O的切線，
∴∠DAP=∠C，
∴∠DAP=∠DEB，
∴△BDE∽△PDA，
∴

BD

DP

=

DE

DA

，
∴DE•DP=DA•DB；

（2）解：∵CA∥EP，
∴△BDE∽△BAC，
則

AC

DE

=

AB

BD

，
∵AB=4，AC=6，DB=3，
∴DE=

9

2

，
∵DE•DP=DA•DB，
∴DP=

DA•DB

DE

=

7×3

9 2

=

14

3

．

點評：本題是一道和圓有關的題目，考查了相似三角形的判定和性質，以及切線的性質，是中考壓軸題，難度較大．