Question

【題目】如圖，OF是∠MON的平分線，點A在射線OM上，P，Q是直線ON上的兩動點，點Q在點P的右側，且PQ=OA，作線段OQ的垂直平分線，分別交直線OF,ON于點B、點C，連接AB,PB．

（1）如圖1，當P、Q兩點都在射線ON上時，請直接寫出線段AB與PB的數量關系；
（2）如圖2，當P、Q兩點都在射線ON的反向延長線上時，線段AB，PB是否還存在（1）中的數量關系？若存在，請寫出證明過程；若不存在，請說明理由；
（3）如圖3，∠MON=60°，連接AP，設 =k，當P和Q兩點都在射線ON上移動時，k是否存在最小值？若存在，請直接寫出k的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接：AB=PB．

理由：如圖1中，連接BQ．

∵BC垂直平分OQ，

∴BO=BQ，

∴∠BOQ=∠BQO，

∵OF平分∠MON，

∴∠AOB=∠BQO，

∵OA=PQ，

∴△AOB≌△PQB，

∴AB=PB．

（2）解：存在，

理由：如圖2中，連接BQ．

∵BC垂直平分OQ，

∴BO=BQ，

∴∠BOQ=∠BQO，

∵OF平分∠MON，∠BOQ=∠FON，

∴∠AOF=∠FON=∠BQC，

∴∠BQP=∠AOB，

∵OA=PQ，

∴△AOB≌△PQB，

∴AB=PB．

（3）解：連接BQ．

易證△ABO≌△PBQ，

∴∠OAB=∠BPQ，AB=PB，

∵∠OPB+∠BPQ=180°，

∴∠OAB+∠OPB=180°，∠AOP+∠ABP=180°，

∵∠MON=60°，

∴∠ABP=120°，

∵BA=BP，

∴∠BAP=∠BPA=30°，

∵BO=BQ，

∴∠BOQ=∠BQO=30°，

∴△ABP∽△OBQ，

∴ = ，

∵∠AOB=30°，

∴當BA⊥OM時， 的值最小，最小值為0.5，

∴k=0.5．

【解析】（1）利用垂直平分線的性質須連結BQ，構造出全等三角形；（2）類比（1）的方法、輔助線做法，仍是構造全等三角形;（3）連結BQ，轉化整個比例，通過相似，轉化為,從而當垂直時比值最小，恰等于sin30°=0.5.
【考點精析】通過靈活運用線段垂直平分線的性質和相似三角形的判定與性質，掌握垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題．