Question

（2013•濱湖區一模）如圖，AB是半圓O的直徑，AB=10，過點A的直線交半圓于點C，且AC=6，連結BC，點D為BC的中點．已知點E在直線AC上，△CDE與△ACB相似，則線段AE的長為

3或

2

3

或9或

34

3

．

Answer 1

分析：根據E點在直線AC上，得出對應點不同求出的EC長度不同，分別得出即可．

解答：解：∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AB=10，AC=6，
∴BC=

102-62

=8，
∵點D為BC的中點，
∴CD=4，
當DE∥AB時，
△CED∽△CAB，
∴

CE

AC

=

CD

BC

，
∴

EC

6

=

4

8

，
解得：EC=3，
∴AE=6-EC=3，
當

CD

AC

=

CE′

CB

，且∠ACB=∠DCE′時，△CE′D∽△CBA，
則

4

6

=

CE′

8

，
解得：CE′=

16

3

，
∴AE′=6-

16

3

=

2

3

；
當

CD

AC

=

CE1

BC

，且∠ACB=∠DCE₁時，△CE₁D∽△CBA，
則

4

6

=

CE1

8

，
解得：CE₁=

16

3

，
∴AE₁=6+

16

3

=

34

3

；
當

CD

BC

=

E″C

AC

，且∠ACB=∠DCE″時，△CE″D∽△CBA，
則

4

8

=

E″C

6

，
解得：CE″=3，
∴AE″=6+3=9；
綜上所述：點E在直線AC上，△CDE與△ACB相似，則線段AE的長為3或

2

3

或9或

34

3

．
故答案為：3或

2

3

或9或

34

3

．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質，注意在直線AC上有一點E，進行分類討論得出是解題關鍵．