Question

如圖，⊙O中，直徑CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，連AD．
（1）求證：AD=AN；
（2）若AB=4

2

，ON=1，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：∵∠BAD與∠BCD是同弧所對的圓周角，
∴∠BAD=∠BCD，
∵AE⊥CD，AM⊥BC，
∴∠AMC=∠AEN=90°，
∵∠ANE=∠CNM，
∴∠BCD=∠BAM，
∴∠BAM=BAD，
在△ANE與△ADE中，
∵

∠BAM=∠BAD AE=AE ∠AEN=∠AED

，
∴△ANE≌△ADE，
∴AD=AN；

（2）∵AB=4

2

，AE⊥CD，
∴AE=2

2

，
又∵ON=1，
∴設NE=x，則OE=x-1，NE=ED=x，r=OD=OE+ED=2x-1
連結AO，則AO=OD=2x-1，
∵△AOE是直角三角形，AE=2

2

，OE=x-1，AO=2x-1，
∴（2

2

）²+（x-1）²=（2x-1）²，解得x=2，
∴r=2x-1=3．