Question

如圖，以O為圓心的弧度數為60 ^o，∠BOE＝45^o，DA⊥OB，EB⊥OB．
（1）求的值；
（2）若OE與交于點M，OC平分∠BOE，連接CM．說明：CM為⊙O的切線；
（3）在（2）的條件下，若BC＝1，求tan∠BCO的值．

Answer 1

（1）；（2）證明見解析；（3）+1.

試題分析：（1）求出OB=BE，在Rt△OAD中，sin∠AOD=，代入求出即可；
（2）求出∠BOC=∠MOC，證△BOC≌△MOC，推出∠CMO=∠OBC=90°，根據切線的判定推出即可；
（3）求出CM=ME，MC=BC，求出BC=MC=ME=1，在Rt△MCE中，根據勾股定理求出CE=，求出OB=+1，解直角三角形得出tan∠BCO=+1，即可得出答案．
（1）∵EB⊥OB，∠BAC=45°，
∴∠E=45°，
∴∠E=∠BOE，
∴OB=BE，
在Rt△OAD中，sin∠AOD=，
∵OD=OB=BE，
∴；
（2）∵OC平分∠BOC，
∴∠BOC=∠MOC，
在△BOC和△MOC中，

∴△BOC≌△MOC（SAS），
∴∠CMO=∠OBC=90°，
又∵CM過半徑OM的外端，
∴CM為⊙O的切線；
（3）由（1）（2）證明知∠E=45°，OB=BE，△BOC≌△MOC，CM⊥ME，
∵CM⊥OE，∠E=45°，
∴∠MCE=∠E=45°，
∴CM=ME，
又∵△BOC≌△MOC，
∴MC=BC，
∴BC=MC=ME=1，
∵MC=ME=1，
∴在Rt△MCE中，根據勾股定理，得CE=，
∴OB=BE=+1，
∵tan∠BCO=，OB=+1，BC=1,
∴tan∠BCO=+1.