Question

【題目】已知△ABC與△DEC是兩個大小不同的等腰直角三角形．

（1）如圖①所示，連接AE，DB，試判斷線段AE和DB的數量和位置關系，并說明理由；

（2）如圖②所示，連接DB，將線段DB繞D點順時針旋轉90°到DF，連接AF，試判斷線段DE和AF的數量和位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AE=DB，AE⊥DB；（2）DE=AF，DE⊥AF．

【解析】試題分析：（1）根據等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定定理證明Rt△BCD≌Rt△ACE，根據全等三角形的性質解答；

（2）證明△EBD≌△ADF，根據全等三角形的性質證明即可．

試題解析：解：（1）AE=DB，AE⊥DB．證明如下：

∵△ABC與△DEC是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=DC，在Rt△BCD和Rt△ACE中，∵AC=BC，∠ACE=∠BCD，CE=CD，∴Rt△BCD≌Rt△ACE，∴AE=BD，∠AEC=∠BDC，∵∠BCD=90°，∴∠DHE=90°，∴AE⊥DB；

（2）DE=AF，DE⊥AF．證明如下：

設DE與AF交于N，由題意得，BE=AD，∵∠EBD=∠C+∠BDC=90°+∠BDC，∠ADF=∠BDF+∠BDC=90°+∠BDC，∴∠EBD=∠ADF，在△EBD和△ADF中，∵BE=AD，∠EBD=∠ADF，DE=DF，∴△EBD≌△ADF，∴DE=AF，∠E=∠FAD，∵∠E=45°，∠EDC=45°，∴∠FAD=45°，∴∠AND=90°，即DE⊥AF．