Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（﹣1，0），（3，0），現同時將點A，B分別向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，分別得到點A，B的對應點C，D，連接AC，BD，CD．

（1）求點C，D的坐標及S四邊形ABDC；

（2）在y軸上是否存在一點Q，連接QA，QB，使S△QAB＝S四邊形ABDC若存在這樣一點，求出點Q的坐標；若不存在，試說明理由；

（3）如圖②，點P是線段BD上的一個動點，連接PC，PO，當點P在BD上移動時（不與B，D重合），求證：∠DCP+∠BOP＝∠CPO．

Answer 1

【答案】（1）點C（0，2），點D（4，2），S四邊形ABDC＝8；（2）存在；Q點的坐標為（0，4）或（0，﹣4）；（3）見解析．

【解析】

（1）根據平移的性質求出點C，D的坐標，再證明四邊形ABDC是平行四邊形，根據平行四邊形的面積公式求解即可；

（2）設Q坐標為（0，m），列出方程求出m的值即可；

（3）作PE∥CD，根據平移的性質可得CD∥PE∥AB，再根據平行線的性質即可證明∠DCP+∠BOP＝∠CPO．

（1）∵點A，B的坐標分別為（﹣1，0），（3，0），將點A，B分別向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，分別得到點A，B的對應點C，D，

∴點C（0，2），點D（4，2），AB＝4，AB∥CD，AB＝CD，

∴OC＝2，四邊形ABDC是平行四邊形，

∴S四邊形ABDC＝4×2＝8；

（2）設Q坐標為（0，m），

∴×4×|m|＝8，

解得m＝±4

∴Q點的坐標為（0，4）或（0，﹣4）；

（3）如圖，作PE∥CD，

由平移可知：CD∥AB，

∴CD∥PE∥AB，

∴∠DCP＝∠EPC，∠BOP＝∠EPO，

∴∠DCP+∠BOP＝∠EPC+∠EPO＝∠CPO．